[TS+] Jamais triangle équilatéral avec sommets entiers !

[invite9a322bed]

Bonsoir,
Je demande une correction pour cet exercice, voici l'énoncé :

Démontrer qu'il n'existe aucun triangle ABC équilatéral dont les coordonnées des sommets A, B, C dans un repère orthonormé direct du plan, sont des entiers.

Ma réponse :
On considère qu'un point a des coordonnées entiers, si avec entiers relatifs. Donc dans un plan complexe, cela correspondrai à dire que si a pour affixe alors et sont des entiers.
Nous allons raisonner dans un plan complexe. Nous allons démontrer que si on choisi deux sommets et avec des coordonnées entiers, ne sera jamais entier.
Soit et d'affixe respectivement et tel que sont entiers.
triangle équilatéral direct, donc est l'image de par la rotation d'angle et de rayon égal au côté du triangle. Soit:


et
n'est jamais un entier car est un entier, en le multipliant par , il ne le sera plus.
Si et ont des coordonnées entiers, alors aura des coordonnées irrationnels.
Ce qui conclut !!
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[invite2220c077]

Ca me semble correct Comme je te l'ai dit hier soir sur MSN, tu peux généraliser ce résultat pour n'importe quel -gone régulier.

Une démo plus simple est d'utiliser le résultat que si les sommets d'un -gone (quelconque) sont à coordonnées entières, alors son aire est rationnelle. Or l'aire d'un triangle équilatéral est , qui est irrationnelle comme est un entier (conséquence directe de la formule de distance dans un repère). Tu généralises à un -gone régulier par récurrence (et un p'tit peu d'astuce).

[invite9a322bed]

J'ai confondu un peu les a et b dans mon developpement ! Mais l'idée y est !
Je vais essayé d'appliquer ton idée ! Merci Zweig !

[invite2220c077]

n différent de 4 au fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Oui, mais comment tu vas faire la récurrence ?
On suppose que c'est vrai pour n, mais pour n+1 , il n'y a pas de relation d'aire entre n-gone et n+1-gone ??