Triangle equilateral et distance aux sommets

[invitefc9a4152]

Bonjour,

Je suis en ce moment en prépa PCSI, je lis parfois les news de votre site, et aujourd'hui, j'ai besoin d'un coup de pouce pour un problème.

Mon prof de maths met un exercice subsidiaire et "ouvert", dans tous ses DMs, qui ne vaut pas de point.... mais j'aime bien les faire, c'est les plus "intéressants" et de loin les plus sympas.

Par contre, dernier DM de l'année, donc exo plus dur:

Pour résumer, on a un triangle équilatéral de 273 (prenons des mètres pour faire clair) de côté, et il faut trouver un point qui soit placé à l'intérieur de ce triangle (pas sur les bords non plus), et dont la distance aux sommets soit une valeure entière.
Par exemple 108m, 46m, et 197m.

Voilà... Personellement je ne vois pas du tout comment résoudre ça analytiquement. Touchant un peu à l'informatique, je pensais programmer un programme pour tester toutes les valeurs de distance (de 1 à 273), et voir pour lesquels c'est "possible", mais je ne vois pas trop comment non plus (ce serait une histoire de cercles ayant pour centre les sommets et se croisant en un même point... donc des coordonnées de cercles, avec un x et y identiques. Mais je vois pas comment faire.)

voilà si quelqu'un a une astuce, pour l'une ou l'autre des méthodes
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[Flyingsquirrel]

Salut et bienvenue

À tout hasard, est-ce que le centre de gravité du triangle ne conviendrait pas ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

À tout hasard, est-ce que le centre de gravité du triangle ne conviendrait pas ?

Dans un triangle équilatéral de côté , la distance du centre de gravité aux sommets est , qui ne peut pas être un entier si en est un.

[invitefc9a4152]

En effet... c'est ce que j'allais dire.
Il faut bien que les 3 distances soient entières! (Je pense qu'il n'existe pas énormément de points, surement un seul, pour lequel c'est vérifié. Enfin 3points, mais dans ce cas les 3mesures seront à chaque fois les mêmes ^^.... Je me comprends)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7a5e934]

Une idée pour résoudre "analytiquement" ce genre de problème est de poser ta figure sur un repère :

Soit ABC ton triangle équilatéral de coté a, tu places A en (0,0) et B en (a,0) et donc C en .

Soit alors (x,y) un point intérieur à ABC.

Il faut alors en utilisant la "formule" de la distance d'un point a une droite de faire le calcul des distances et de trouver des conditions.

Bonne chance !

[invite57a1e779]

Une idée :

Soit un point du plan, je note , , et .

Le tétraèdre est aplati, et on écrit que son volume est nul, soit :

et tu peux essayer d'écrire une boucle pour tester, avec , toutes les valeurs entières de , et pour trouver celles qui conviennent.

[invitefc9a4152]

@ Al Don Gate: Bonne idée! Par contre, c'est pas la formule de la distance d'un point à une droite qu'il faut utiliser, vu que c'est la distance aux sommets (un point) qui nous intéresse ! Merci de l'idée sinon, j'y avais pensé vite fait.

@God's Breath: Merci, ça me semble une bonne idée! Je vais aller tester ça de suite !

[invitefc9a4152]

En effet God's Breath, ça marche nickel. En quelques seconde j'obtiens plusieurs solutions (dont certaines sont des doublets bien sûr), en enlevant les réponses identiques on trouve 3couples de mesures qui semblent marcher ! Bon, par contre, de là à expliquer au prof.... Je vais pas lui écrire mon programme sur ma copie, si ? xD Après tout, je l'ai résolu l'exo... On verra ce qu'il en pense, un effort est toujours récompensé!

[invite986312212]

et si le point est à l'extérieur du triangle? est-ce qu'il y a un nombre fini de solutions?

[invite88cc45ea]

Bonsoir, je suis intéressé par votre programme Jaman !!!
Est il possible d'avoir le code de celui ci ou pouvez vous calculer un résultat pour moi ?
J'essaye de coder un programme similaire mais mes connaissances en programmation sont pour le moment plus que réduites

Vous est il possible de faire cela pour moi ?
Cordialement.

[invite0397ebfc]

L'aire est de 19 racine de 3 sur 4, cf. théorème de mon cru en pièce jointe.