Somme finie de fonctions

[invite3ed13054]

Bonsoir,

Voilà le problème : comment peut on savoir si la somme finie de fonction du type x ->A*sin(b*x+c) possède ou non une racine sur l'ensemble des réels.
C’est un problème que je n’ai bien évidemment pas résolu.

Cordialement.
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[acx01b]

bonjour, la fonction ne peut être partout positive, elle a donc au moins un zéro (en fait elle en a une inifinité pour le même genre de raison)

[invite0931ef5e]

bonjour,

bonjour, la fonction ne peut être partout positive

pourquoi ??

[invite3ed13054]

bonjour, la fonction ne peut être partout positive, elle a donc au moins un zéro (en fait elle en a une inifinité pour le même genre de raison)

bonjour,

Voilà un contre exemple : 1*sin(1*x+0)+2*sin(0*x+1)>sin( x)+1.5>0
Donc c'est fonction n'a pas de racine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0931ef5e]

si les périodes sont à rapport irrationnel, il y a une infinité d'endroit où tous les maxima d'amplitudes vont quasiment coïncider, pareil pour les minima donc l'amplitude de la somme va être la somme des amplitude (infiniment proche) et la conclusion est facile

si deux a sont à rapport rationnel, on calcul l'amplitude de la somme qui est périodique on calcul aussi sa période et on revient au premier point en remplaçant les 2 fonctions par leur somme et la nouvelle amplitude

[invite3ed13054]

1/si les périodes sont à rapport irrationnel, il y a une infinité d'endroit où tous les maxima d'amplitudes vont quasiment coïncider, pareil pour les minima donc l'amplitude de la somme va être la somme des amplitude (infiniment proche) et la conclusion est facile

2/si deux a sont à rapport rationnel, on calcul l'amplitude de la somme qui est périodique on calcul aussi sa période et on revient au premier point en remplaçant les 2 fonctions par leur somme et la nouvelle amplitude

1/Cela me semble correct.

2/Mais que se passe-t-il dans le cas où tous les rapports sont rationnelles ? (avec x->A*sin(q*x+b) avec q rationnel par exemple).

[invite4ef352d8]

L'argument que donne wopl_a ne fonctionne que si tout les "b" sont non nul (sinon il y a le contre exemple que tu donne fonctionne) . il faut aussi compléter, par un argument qui prouve que dans les b sont en rapport rationelle la somme s'annule toujour... ce qui est le cas car l'intégrale sur une période est nul !

[invite3ed13054]

L'argument que donne wopl_a ne fonctionne que si tout les "b" sont non nul (sinon il y a le contre exemple que tu donne fonctionne) . il faut aussi compléter, par un argument qui prouve que dans les b sont en rapport rationelle la somme s'annule toujour... ce qui est le cas car l'intégrale sur une période est nul !

Effectivement, s'il n'y a pas de terme constant et que le rapport de toute les périodes est rationnelles alors il y a bien une racine.
Mais si on a un terme constant dans la somme, alors il est plus difficile de conclure.

[invitea07f6506]

Rapidement : on peut aussi conclure si toutes les périodes sont -linéairement indépendantes.

Je note :



où tous les sont strictement positifs. Si les sont -linéairement indépendants, et si , alors il existe une infinité de racines. S'il y a égalité, i.e. si , alors il est plus difficile de conclure : pour certaines valeurs des déphasages , il y aura une (unique ?) racine, mais pour la plupart des valeurs, il n'y aura aucune racine.

Il me semble que l'on peut se ramener au cas général de la façon suivante : si les forment une famille ()-liée, alors on peut découper et regrouper les de façon à obtenir une famille de fonctions périodiques, dont les périodes seront cette fois-ci libres, i.e. on aura :



où les seront périodiques de même période, où et où les sont -linéairement indépendants. Dans ce cas, on a une infinité de racines dès que , mais je ne connais pas de truc pour évaluer les .

Je ne suis pas sûr de cette réduction, ceci dit, c'est juste une idée lancée en l'air.

[invite3ed13054]

l'argument que donne wopl_a fonctionne même dans le cas ou b=0, car il parle bien des maximums et minimums de chaque fonctions et dans le cas ou b=0 les deux coïncides...

[invite3ed13054]

Rapidement : on peut aussi conclure si toutes les périodes sont -linéairement indépendantes.

Je note :



où tous les sont strictement positifs. Si les sont -linéairement indépendants, et si , alors il existe une infinité de racines. S'il y a égalité, i.e. si , alors il est plus difficile de conclure : pour certaines valeurs des déphasages , il y aura une (unique ?) racine, mais pour la plupart des valeurs, il n'y aura aucune racine.

Il me semble que l'on peut se ramener au cas général de la façon suivante : si les forment une famille ()-liée, alors on peut découper et regrouper les de façon à obtenir une famille de fonctions périodiques, dont les périodes seront cette fois-ci libres, i.e. on aura :



où les seront périodiques de même période, où et où les sont -linéairement indépendants. Dans ce cas, on a une infinité de racines dès que , mais je ne connais pas de truc pour évaluer les .

Je ne suis pas sûr de cette réduction, ceci dit, c'est juste une idée lancée en l'air.

Merci pour ta contribution.
Mais je pense que cela se corce quand on étudie le cas où les fonctions sommées sont de la forme x->A*sin(q*x+b) avec q un rationnel plus un terme constant ce qui revient à étudier une fonction de plus prêt.

[invite4ef352d8]

encore une fois, dans le cas où b peut-être nul le résultat est trivialement faux ! par exemple (sin(0.x+1) ne s'annule jammais, sin(x)+10.sin(0.x+1) non plus...

et dans le cas où b est toujours non nul, le résultat est prouvé par l'argument de wopl_a :

on regroupe les fonction par classes d'équivalence pour la relation "avoir un rapport rationelle des période" chaque paquet (si il est de somme non nul) donne une fonction rationel qui a un maximum >0 et un minimum <0

et on peut trouver des réel qui (modulo les périodes) sont aussi proche qu'on veut du maximum de chacun des fonctions... (quoique, d'un seul coup j'ai un doute la dessus... tu es sûr de toi wopl_a ? )

[invitea07f6506]

encore une fois, dans le cas où b peut-être nul le résultat est trivialement faux ! par exemple (sin(0.x+1) ne s'annule jammais, sin(x)+10.sin(0.x+1) non plus...

et dans le cas où b est toujours non nul, le résultat est prouvé par l'argument de wopl_a :

on regroupe les fonction par classes d'équivalence pour la relation "avoir un rapport rationelle des période" chaque paquet (si il est de somme non nul) donne une fonction rationel qui a un maximum >0 et un minimum <0

et on peut trouver des réel qui (modulo les périodes) sont aussi proche qu'on veut du maximum de chacun des fonctions... (quoique, d'un seul coup j'ai un doute la dessus... tu es sûr de toi wopl_a ? )

Deux petites remarques :
* Si s'annule parfois, on peut s'en sortir quand même (cf mon message).
* La manipulation à faire est plus compliquée que regrouper les fonctions par classes d'équivalence pour une certaine relation. C'est aussi passablement plus compliqué que ce que j'avais pensé. Par exemple, si on considère la fonction suivante :



alors la somme ne peut pas s'approcher de 3 (ni de -3).

Il y a un problème quand la courbe vit dans un "hyperplan" fermé du tore qui n'inclut pas le point . Il faudrait mieux connaître la restriction de la fonction sin (première coordonnée) + ... + sin (dernière coordonnée) à de tels hyperplans.

[invite4ef352d8]

Hum... oui on dirait qu'il faut faire intervenir une base du Q-espace vectorielle engendré par les 'b'.
ca doit marcher ca, peut-être même que ca permet de calculer explicitement le minimum et le maximum de la somme de sinus est donc traiter le cas b=0 aussi... mais malheuresement je manque de temps pour y réfléchir ce soir.

[invite0931ef5e]

et on peut trouver des réel qui (modulo les périodes) sont aussi proche qu'on veut du maximum de chacun des fonctions... (quoique, d'un seul coup j'ai un doute la dessus... tu es sûr de toi wopl_a ? )

Pas du tout, mais un sous-groupe de R est soit aZ (a réel) soit dense donc le groupe engendré par 2 périodes de rapport irrationnel est dense ? ce qui se traduit par : on peut approcher les maxima aussi près que l'on veut en choisissant une bonne combinaison linéaire des 2 périodes

[invite3ed13054]

Merci pour ta contribution.
Mais je pense que cela se corce quand on étudie le cas où les fonctions sommées sont de la forme x->A*sin(q*x+b) avec q un rationnel plus un terme constant ce qui revient à étudier une fonction de plus prêt.

J'ai fait une petite erreur : c'est plus tôt les fonctions de la forme x->A*sin(2*Pi*q*x+b) avec q un rationnel...

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Je veux bien aider mais je vais y aller en tâtonnant car ton énoncé n'est pas très claire dans tous les cas.
Vous parlez d'une somme fini de fonction qui ont cette forme la: x->A*sin(2*Pi*q*x+b), Mais que fait-on varier? le q qui est rationnel? Je présume que c'est lui qui change. Il y'a sans doute pas mal de données a ajouter pour voir si cette fonction somme s'annulerait en quelques points, mais pour projeter un tel résultat sur une forme pas très bien définie, je pense que ce sera faux. Cherche donc deux exemples: l'une s'annulant et l'autre pas. De ma part, je chercherai aussi.
Bonne soirée,
D.

[invite3ed13054]

Bonsoir,
Je veux bien aider mais je vais y aller en tâtonnant car ton énoncé n'est pas très claire dans tous les cas.
Vous parlez d'une somme fini de fonction qui ont cette forme la: x->A*sin(2*Pi*q*x+b), Mais que fait-on varier? le q qui est rationnel? Je présume que c'est lui qui change. Il y'a sans doute pas mal de données a ajouter pour voir si cette fonction somme s'annulerait en quelques points, mais pour projeter un tel résultat sur une forme pas très bien définie, je pense que ce sera faux. Cherche donc deux exemples: l'une s'annulant et l'autre pas. De ma part, je chercherai aussi.
Bonne soirée,
D.

Bonsoir,

c'est x qui varie les q et les b étant fixés.
Un exemple de fonction s'annulant : x->sin(2*Pi*x)+sin(Pi/2) pour x=-1/4 par exemple.
Un exemple de fonction ne s'annulant pas : x->sin(2*Pi*x)+3/2*sin(Pi/2).

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Non je parlais de ce qui variait sur la somme. et bien sur tant qu'on ajoute un terme constant les jeux sont faits et ca devient trivial. Je me demandais s'il y'en avait sans le terme constant, ça aurait été plus intéressant a mon avis.
Bonne soirée.

[invite0a547b27]

Bonsoir,
Non je parlais de ce qui variait sur la somme. et bien sur tant qu'on ajoute un terme constant les jeux sont faits et ca devient trivial. Je me demandais s'il y'en avait sans le terme constant, ça aurait été plus intéressant a mon avis.
Bonne soirée.

Bonsoir,
Le deuxieme exemple est sans terme constant.

[invite0a547b27]

Cela bug pas mal.