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Exercice systeme d'equation aux congruences



  1. #1
    invite77420056

    Exercice systeme d'equation aux congruences

    Bonjour

    voici mon systeme

    S {x=5 (15) et x=4 (14)

    J'ai chercher une relation de bézout entre 15 et 14 ce qui donne 15.1 + 14. (-1)=1 donc 15.1.4-14.5=-10
    Donc la solution est S: x=-10 (14.15)


    est ce correct?

    -----


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  3. #2
    chris-034

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Tout à fait; on a bien -10 = 5 +15*(-1) = 4 + 14*(-1) .

  4. #3
    invite77420056

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    merci est ce que je peux utiliser la meme methode pour ce genre de systeme de la forme S:{ x=a (m) et x=b (n)

    Exemples

    S:{x=1(10) et x=5 (15)

    une relation de bezout donne 1. (-4)+5.1=1 donc -40+75=25 donc les solutions sont x=25 (150)

    Est ce exact?

  5. #4
    invite77420056

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Pardon c'est x=35 (150)

  6. #5
    invite77420056

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Ah non c'est bien x=25 (150)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    chris-034

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Non. D'abord, c'est 75-40=35 = 5+2*15, mais ce n'est pas un 1 modulo 10 .

    Le système se traduit en l'équation diophantienne : 10*A + 15*B = 4 . Ici, le pgcd de 10 et 15 est 5, or 4 n'est pas multiple de 5, donc cette équation n'a pas de solution.

    Généralement, on a : a*u + b*v = c . Si d est le pgcd de a et de b, alors il divise a et b (so evident) donc il divise c. A l'inverse, si d ne divise pas c, c'est que l'équation n' a pas de solutions.

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  10. #7
    invite77420056

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Et pour finire j'ai le systeme suivant S:{x=17 (21) et x=2 (6)

    Relation de bezout il n'existe pas d'entier r et s tel que r.21 + 6.s=1 donc le systeme n'admet pas de solution.est ce correct?

  11. #8
    AdelineJ

    Re : exercice systeme d'equation aux congruences

    Regarde le théorème des restes chinois : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...iers_entre_eux

  12. #9
    chris-034

    Re : Exercice systeme d'equation aux congruences

    Pas exactement, avec Bezout, le membre de droite correspond au pgcd des deux coefficients de l'équation.

    Ici, pour passer à l'équation diophantienne, on égalise les deux égalités du système, ce qui donne :
    17 - 21*Y = 2 + 6*X <=> 15 = 6*X + 21*Y
    Le pgcd de 6 et 21 est 3, 15 est multiple de 3 donc du pgcd, ce qui entraîne que cette équation possède une solution, et donc que le système du départ admet des solutions.
    Ceci dit, passer par là n'est pas à faire systématiquement, seulement si il y a un doute; il est utile de vérifier à la fin si la solution trouvée vérifie le système.


    Le ppcm de 6 et 21 est 42, donc pour résoudre le système, je met les modulos à 42:
    2X = 34 [42]
    7X = 14 [42]

    Il vient : X = 1*7X - 3*2X = 1*14 - 3*34 [42] = -88 [42] = 38 [42]

    On a bien 38 = 2 + 6*6 = 17 + 21*1.

  13. #10
    invite77420056

    Re : Exercice systeme d'equation aux congruences

    Est ce qu'on peut utiliser cette methode pour tous les systemes aux congruences? Si non quelle methode utiliser?

  14. #11
    chris-034

    Re : Exercice systeme d'equation aux congruences

    Il n'y a pas vraiment une seule méthode, mais celle que j'expose ci-dessus a l'air de marcher jusque là pour moi.

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