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Equation aux congruences



  1. #1
    invite77420056

    Equation aux congruences


    ------

    Bonjour à tous j'ai un problème avec cette équation:

    x5=x modulo 30

    x5 signifie x puissance 5 et = signifie est congrus à.

    j'arrive à x (x2+1) (x-1)(x+1)=0 modulo 30

    or 30=6×5 et 6 et 5 sont premiers entre eux

    mais après je n'arrive pas à résoudre cette équation .

    pourriez vous m'aidez svp ?

    -----

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  3. #2
    Seirios

    Re : equation aux congruences

    Bonjour,

    Juste pour savoir, la décomposition que tu donnes vient d'une question préliminaire dans un exercice, ou bien cherches-tu à résoudre ton équation sans indication ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    Seirios

    Re : equation aux congruences

    Si je ne me trompe pas, tu as , donc pour tout . Du coup, ton problème se simplifie en . Comme tu l'as dit, et sont premiers entre eux, du coup cela revient à résoudre le système . Pour chaque équation, tu as ou divisible par et , etc.
    Dernière modification par Seirios ; 17/12/2014 à 16h06.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    invite77420056

    Re : equation aux congruences

    oui effectivement c'etait une indication d'un exercice mais j'avoue que je ne comprends rien aux congruence donc pourriez vous m'expliquez plus simplement car je ne comprends pas avec l'indicatrice d'euler.

  6. #5
    Seirios

    Re : equation aux congruences

    C'est le théorème d'Euler, que j'ai d'ailleurs mal appliqué, puisqu'il donne . Mais peut-être ne connais-tu pas ce théorème.

    Si ta question fait partie d'un problème, il serait bon que tu précises les questions intermédiaires, que l'on te guide dans la même direction.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite77420056

    Re : equation aux congruences

    En fait je bloque apres ça (x2+1) (x-1)(x+1)=0 modulo 30

    or 30=6×5 et 6 et 5 sont premiers entre eux*après je n'y arrive plus .

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  10. #7
    Kevin.dernoncourt

    Re : equation aux congruences

    Les congruences, de vieux souvenirs... Cependant, si ta fonction est congrue à 0 modulo 30, elle l'est aussi à la fois à 0 modulo 5 ET modulo 6, car ils sont premiers entre eux.
    Tu dois donc trouver X tel que (x²+1)(x-1)(x+1)=0 [5] et (x²+1)(x-1)(x+1)=0[6]. D'ailleurs ta factorisation semble erronée, le degré factorisé vaut 4 et le degré initial est 5! Attention à cela!

    Bon, donc tu cherches pour que ta fonction soit à la fois multiple de 5 et de 6 donc, en développant tu tombes sur x^4-1=0[5] et x^4-1=0[6], d'où x^4=1[5] et x^4=1[6]

    Je te laisse terminer, rien de bien compliqué à partir d'ici (Cependant j'ai toujours un doute avec ta factorisation, à voir donc)
    Dernière modification par Kevin.dernoncourt ; 18/12/2014 à 15h45.

  11. #8
    Gandhi33

    Re : equation aux congruences

    @Seirios
    Le théorème d'Euler donne donc . C'est pourquoi je pense que tu t'es trompé les deux fois.
    @Kevin
    Jonh ne s'était pas trompé dans son premier message.

    On a le système

    Dernière modification par Gandhi33 ; 19/12/2014 à 23h58.
    "Méfions-nous des citations sur Internet", Leonhard Euler

  12. #9
    Gandhi33

    Re : equation aux congruences

    Bonsoir,
    La première équation est clairement vérifiée pour tout x, ainsi que la seconde. (Il est question de trois entiers consécutifs.

    Pour la troisième, d'après le lemme d'Euclide, on a (modulo 5) que

    Soit soit soit

    Soit . Dans ce cas, on sait que les résidus quadratiques modulo 5 sont 0,1,4. Il existe donc une solution pour . . On ré-applique le lemme d'Euclide pour trouver ou

    Finalement, les solutions sont tous les entiers congrus à 0;1;4;2;3 modulo 5.

    L'ensemble des solutions est

    Cordialement
    Dernière modification par Gandhi33 ; 20/12/2014 à 00h19.
    "Méfions-nous des citations sur Internet", Leonhard Euler

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