Variance, pourquoi élever au carré au lieu d'utiliser la valeur absolue ?

[invite5beb677a]

Bonjour, nous avons commencé les statistiques en 1ereS et nous avons aborder la notion de variance et d'écart-type.
Mais il y a une chose que je ne comprends pas, pourquoi on élève au carré dans la formule ? On me dit que c'est pour ne pas avoir de résultat négatif, mais la valeur absolue aurait suffit et compliquerait moins le calcul, n'est-ce pas ?
De plus, on prend la racine de la variance pour avoir l'écart-type. Alors c'est aberrant après lorsqu'on nous dit que l'écart-type est le moyenne de l'écart entre les valeurs et la moyenne. Puisque √(a²+b²) ≠ √((a+b)²) (en calculant l'écart-type, c'est comme si on acceptait cette égalité).
Ma professeur de maths m'a dit qu'elle était d'accord avec moi, mais qu'elle n'avait pas d'explications, ne faisant que suivre le programme. Elle m'a alors demandé de chercher pourquoi on élevait au carré.
Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
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[danyvio]

C'est une bonne question puisque je me la suis posée souvent Ce ne serait d'ailleurs pas une énormité et la notion de variance et d'écart-type serait pertinente, avec toutefois des résultats un peu différents.

Mais si on utilisait les valeurs absolues, on se heurterait à un problème pratique de calcul, à savoir qu'on serait obligé de conserver le détail des mesures (pourquoi pas 100000 ou un million ou davantage) avant de calculer la moyenne, puis de reprendre chaque mesure individuellement pour calculer la valeur absolue de l'écart, faire la somme etc..

Alors qu'avec les carrés, on peut calculer la variance au fur et à mesure, puisque à chaque mesure X on a seulement besoin de trois "compteurs":

* additionner 1 au compteur de mesures (ce que je désigne ci-dessous par n),
* accumuler dans un compteur la mesure faite
* accumuler dans un autre compteur le carré de la mesure faite.


Et à tout moment, mais notamment quand on a terminé les mesures calculer :

variance = [(sigma X²) / n] - [(sigma ²X)/n² ]

[danyvio]

De plus, on prend la racine de la variance pour avoir l'écart-type. Alors c'est aberrant après lorsqu'on nous dit que l'écart-type est le moyenne de l'écart entre les valeurs et la moyenne. Puisque √(a²+b²) ≠ √((a+b)²) (en calculant l'écart-type, c'est comme si on acceptait cette égalité).
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J'ai répondu à la première partie de ton post.
Mais ici, je ne suis pas OK avec ton affirmation.
La variance est la somme des carrés des écarts entre moyenne et valeurs mesurées. Cette variance a donc une dimension (au sens physique) de "unité de mesure au carré". On prend la racine carrée pour que l'écart-type ainsi obtenu aie la même "dimension" que les mesures effectuées.

Si tu mesures des longueurs en milllimètres, la variance aura pour dimension des mm² et l'écart-type des mm.

[invite5beb677a]

Il est vrai que la racine a pour seul but de garder la même unité.
Cependant, je ne vois pas trop ce que vous voulez dire par "conserver le détail des mesures".

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Il est vrai que la racine a pour seul but de garder la même unité.
Cependant, je ne vois pas trop ce que vous voulez dire par "conserver le détail des mesures".

Il suffit d'essayer (même sur 3 ou 4 mesures)
pour voir que si on travaille en "valeur absolue des écarts à la moyenne" il faut effectuer deux calculs :

1) additionner les mesures pour calculer la moyenne
2) reprendre chaque mesure pour calculer son écart avec la moyenne calculée ci dessus et cumuler

Dans un processus automatique où on incorporerait des millions de mesures ce serait gênant !

Avec la technique "carré des écarts à la moyenne" , on peut calculer la variance et l'écart-type au fur et à mesure de l'arrivée des mesures, détecter une anomalie dans un processus de fabrication, et ce, sans enregistrer les mesures individuelles pour les (re-) traiter.

[invite57a1e779]

Dans un processus automatique où on incorporerait des millions de mesures ce serait gênant !

L'argument est fallacieux, on utilisait la variance et l'écart-type bien avant l'automatisation des calculs.

On peut envisager de caractériser la dispersion d'une série de résultats de moyenne par
– la moyenne des écarts à la moyenne ;
– l'écart-type .

La seconde formule est plus utilisée parce qu'elle utilise l'expression analytique d'une distance euclidienne, et qu'elle permet des développements théoriques avec un substrat d'interprétation géométrique.

[danyvio]

L'argument est fallacieux, on utilisait la variance et l'écart-type bien avant l'automatisation des calculs.

On peut envisager de caractériser la dispersion d'une série de résultats de moyenne par
– la moyenne des écarts à la moyenne ;
– l'écart-type .

La seconde formule est plus utilisée parce qu'elle utilise l'expression analytique d'une distance euclidienne, et qu'elle permet des développements théoriques avec un substrat d'interprétation géométrique.

Tout à fait d'accord. Il n'empêche qu'on est bien alors obligé de traiter deux fois les données : une fois pour calculer la moyenne, une autre fois pour calculer chaque écart élevé au carré ou chaque valeur absolue d'écart.

[invite12f1428a]

Refait le calcul sans le carré tu auras tout simplement 0.
On élimine l’inconvénient des différence négative en élevant au carré.

[gg0]

Samir,

tu n'as pas eu l'impression d'arriver après la bataille (le sujet date de 4 ans) ?

[invite12f1428a]

oups je n'avait pas remarquer erreur de ma part

[lepierot]

Bonjour,

Je vois que ce sujet a quelques années mais bon, moi je viens seulement de m'y intéresser. Vous dites il suffit d'essayer avec 3 ou 4 mesures...

Pourriez vous le faire et montrer ce qu'apporte la methode des carrés ?

Car je ne comprends pas pourquoi en utilisant la methode des carrés on est pas tenu de reprendre tous les calculs ?

Merci

[lepierot]

Sur Wikihow j'ai trouvé ca : http://fr.wikihow.com/calculer-la-mo...%99erreur-type

et dans la partie "Méthode 3 sur 4: L'écart-type" il est dit :
"quand on ne connaît pas la moyenne, vous devez diviser par n-1, la taille de l'échantillon moins 1 unité : c’est ce qu’on appelle un écart-type non biaisé" !!!


Je ne comprends pas !!!!

[invitebad96172]

Bonjour,

Je crois que j'ai trouvé la réponse et elle est toute simple :

Les valeurs de xi-E(X) peuvent être négatives ou positives, donc cette moyenne peut valoir 0 même si les valeurs sont très dispersés. La solution est de calculer la moyenne des (xi-E(X))2 , qui sont toujours positives.

Pour en savoir plus sur les variances, je recommande cette page

[jacknicklaus]

déterrage de topic d'il y a 4 ans, topic ayant démarré lui même en 2009.