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Existence d'une intégrale



  1. #1
    tjou

    Existence d'une intégrale


    ------

    Bonjour,

    Quand est-ce qu'une fonction est intégrable sur un intervalle du type [a;b] avec a et b réels ?

    Car j'ai lu :

    -"Si f est dérivable sur [a;b]"

    -"Si f est continue sur [a;b]"

    Qu'en est-il vraiment ?

    Petite parenthèse : je me demande du coup, sur des intervalles du type ou faut-il utiliser les mêmes critères ou y'a-t-il d'autres pré-requis ?

    D'ailleurs peut-on intégrer sur ?

    J'ai du mal à "voir".

    -----

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  3. #2
    Thorin

    Re : Existence d'une intégrale

    Toute fonction continue sur un intervalle [a,b] est intégrable sur cet intervalle.

    Et comme toute fonction dérivable est continue, si une fonction est dérivable sur [a,b], elle est intégrable sur [a,b].

    sur [a,+l'infini[, il faut s'assurer que, pour f fonction positive, atteigne une limite finie quand b tend vers l'infini, pour qu'elle soit intégrable sur cet intervalle.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    tjou

    Re : Existence d'une intégrale

    Merci Thorin.

    Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?

    Merci.

  5. #4
    mx6

    Re : Existence d'une intégrale

    Effectivement, en TS, cette définition suffit, tout fonction continue dans un intervalle I, admet une integrale dans cet intervalle. Et en même c'est logique, si elle est continue, ca veut dire qu'il y a une aire délimitée par la courbe et l'axe Ox.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mimo13

    Re : Existence d'une intégrale

    Citation Envoyé par tjou Voir le message
    Merci Thorin.

    Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?

    Merci.
    Oui cette définition est toujours vrai facile a voir vu ce qu'a mx6 mais dire que toute fonction qui admet un primitive sur un intervalle I est continue sur cette intervalle(c'est à dire la réciproque) est totalement fausse.

  8. #6
    Thorin

    Re : Existence d'une intégrale

    Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?
    Attention a la distinction segment et intervalle : un segment est un intervalle de la forme [a,b].
    Mais ceci dit, c'est vrai, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

    tout fonction continue dans un intervalle I, admet une integrale dans cet intervalle. Et en même c'est logique, si elle est continue, ca veut dire qu'il y a une aire délimitée par la courbe et l'axe Ox.
    ceci est en revanche faux sur un intervalle quelconque :

    de manière très visible, l'exponentielle n'admet pas une aire finie sous sa courbe sur l'intervalle [0, +l'infini [
    de manière un peu moins visible, la fonction n'admet pas une aire finie sur l'intervalle , mais admet cependant une aire finie sur
    , alors que la fonction n'admet pas une aire finie sur l'intervalle , mais admet cependant une aire finie sur ...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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