DM spé math ensemble de point et droite

[invitea931e65d]

Bonjour à tous,
j'ai un DM de spé math a rendre pour la rentrée et je n'arrive pas a résoudre une question, la voici :
On considère la droite (d) d'équation 4x+5y=1
Démontrer que l'ensemble des points de (d) dont les coordonées sont entières est l'ensemble des points M_k(3k+1,-4k-1) lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs.
Je voulait commencer par dire que l'ensemble des points M est une fonction a deux variables f(x,y) avec x=3k+1 et y=-4k-1
mais j'arrive à rien, on vient juste de commencer ce chapitre et j'ai beau chercher dans le livre il n'y a rien qui m'aide
merci d'avance pour vos réponses
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[invitef1b93a42]

Tu n'as qu'à résoudre l'équation diophantienne 4x+5y=1.

[Thorin]

marche à suivre :

-on remarque que (-1,1) est une solution particulière
-on a alors : 4(x+1)+5(y-1)=0 (en soustrayant la solution particulière à l'équation)
-d'où 4(-1-x)=5(y-1)
-donc 4 divise 5(y-1)
-or, 4 est premier avec 5, donc, 4 divise y-1
-donc y-1=4k, pour un certain k
-donc y=1+4k, pour un certain k
-en remplaçant y dans l'équation de base par 4k+1, on trouve :
x=-1-5k
-réciproquement, tout k marche.

mais je n'arrive pas au résultat de l'énoncé ??
résultat qui est d'ailleurs faux ??

[invitea931e65d]

excusez moi j'ai fait une bourde
la droite (d) a pour équation 4x+3y=1
désolé mais ce n'est pour autant que j'y arrive

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1b93a42]

Tu as dû, normalement, faire un long chapitre d'arithmétique en spécialité. Ici on te demande de trouver les solutions entières de l'équation . Tu as dû en résoudre quelques unes lors des exercices d'arithmétique. Si tu ne te souviens plus, je vais te donner quelques pistes. Tout d'abord, il te faut utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer PGCD(4,3) et ensuite utiliser le théorème de Bézout pour justifier l'existence de solutions à cette équation. Ensuite, on doit chercher une solution particulière c'est-à-dire un couple vérifiant . Pour cela, tu utilises l'algorithme d'Euclide en remontant de 1 aux valeurs 4u+3v ou bien, plus simplement, remarquer que le couple convient. Puis, comme on a et , on regroupe les deux équations : . Tu dois maintenant utiliser le théorème de Gauss qui te permet de trouver les valeurs de x ou y, puis tu remplaces x ou y trouvé dans l'équation pour retrouver les solutions pour y ou x . Saches qu'il est pratiquement impossible que tu n'ais pas fais ce genre d'équation en arithmétique, ce serait même honteux pour ta prof de ne pas vous avoir donné de tel exercice.

[invitea931e65d]

on en a fait quelques unes (4 ou 5)
mais je trouve x=-3k+1 et y=4k-1 et non x=3k+1 et y=-4k-1
j'ai commencer par dire qu'après être arrivé à 4(1-x)=3(y+1) que 4 divise 3(y+1) et que 4 premier avec 3 donc d'après le théorème de Gauss 4 divise y+1 il existe donc un réel k tel que y+1=4k on a donc y=4k-1 et donc par analogie 1-x=3k et x=-3k+1
où ai-je fait une erreur?

[Thorin]

Il suffit de prendre l'opposé de k !!!!

[invitea931e65d]

c'est pas un peu trop ... simple désolé si je cherche le compliqué

[invitea931e65d]

j'ai un autre problème plus loin dans le dm il nous demande ceci :
pour tout entier n non nul B_n+1 est l'image de B_n par s (similitude directe de centre A(1-i), de rapport k=2/3 et d'angle pi/2 caractérisé par )
-Determiner la longeur AB_n+1 en fonction de AB_n: le rapport de s étant 2/3 on a donc AB_n+1=2/3AB_n
-A partir de quel entier n le point B_n appartient-il au disque de centre A et de rayon 10^-2 ? : je voulait commencer par dire qu'il faut que AB_n<=10^-2 et que |z_Bn-z_A|<=10^-2 et après je vois pas
-déterminer l'ensemble des entiers n pou lesquel A, B₁ et B_n son alignés ( B₁ est l'image de B par s) : à part dire qu'il faudrait que (AB₁;AB_n)=180° je vois pas
merci de votre aide

[James69]

je pense qu'on t'as donne les coordonees de B₁ (ou B) ou la distance AB₁ nan?
parce que puisque ABn+1=2/3ABn donc (AB_n) est une suite geometrique de raison 2/3 et de premier terme AB puis tu en deduis l'expression de AB_n en fonction de n et tu resouds AB_n<=10^-2 facilement je pense

pour la q2 j'imagine que tu as B₁ donc tu trouve tous les entiers n tels que arg(z_n-(1-i))/(z₁-(1-i))=0 ou pi...apres ca depend de z₁