DM 1ère S, limites et asymptotes.

[invitecb4966fc]

Bonjour à tous,

Voila, j'ai un DM de maths a faire et je suis dessus depuis une heure sans avoir avancé d'un poil, j'aurais bien besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît !

On considère la courbe d'équation :

y = x(ax+b)/2(x - c)²
où a, b et c sont des réels , dans un repere orthonormal (0 ; i ; j)

1°) Déterminez les réels a, b et c pour que la courbe ait deux asymptotes d'équations
respectives x =1 et y = 3/2 et que la tangente en 0 ait pour équation y = -2x .

2°) Soit la fonction f définie sur ]-oo ; 1[u]1 ; +oo [ par :
f(x)=3x2 - 4x/2(x-1)²
a) Étudier la fonction f : limites, dérivée, variations.
b) Déterminez une équation de la tangente en 0, ainsi qu'au point d'abscisse 3/2.
c) Étudier la position de la courbe C représentant f par rapport à son asymptote horizontale .
d) Représentez C avec ses asymptotes et les tangentes déterminées en b)

Je suis complètement bloquée pour la question 1°), un peu d'aide serait la bienvenue...
Merci d'avance !
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[invitebbe24c74]

Bonjour.
Tu dois avoir dans ton cours ou ton livre ce qui entraine des asymptotes

L'asymptote x=1 est une verticale.
C'est un point ou ta fonction n'est pas définie, à l'image de 1/x en x=0

Pour cette première tangente, tu peux donc trouver la valeur de c pour laquelle tu auras ce genre de phénomène.

Voila je te laisse chercher pour cette première réponse.

[invitecb4966fc]

Il faut que :
lim f(x)= oo
x->1

Or si on remplace x par 1 comme pour une étude de limite normale on a :
lim (a+b)/2(1-c)²= oo
x->1

Et a+b c'est un nombre et la limite de quotient ayant un nombre numérateur qui donne pour limite l' infini est 0.

Donc il faut que:
2(1-c)²=0

Donc que c=1.

[invitec6946ef0]

En même temps, si tu te trompes dans l'énoncé ...
y = x(ax+b)/2(x - c)² ou y =(a+b)/2(1-c)² ?
J'y arrivais pas, je me suis sentie conne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb4966fc]

En même temps, si tu te trompes dans l'énoncé ...
y = x(ax+b)/2(x - c)² ou y =(a+b)/2(1-c)² ?
J'y arrivais pas, je me suis sentie conne

Dans l'énoncé on a :y= x(ax+b)/2(x-c)², mais pour trouver c, j'ai remplacé x par 1, ce qui fait y=(a+b)/2(1-c)².

[invitec6946ef0]

Oui, tu as raison, c'est moi qui suis conne

Pour l'asymptote d'éq y=3/2, il faut que y tende vers 3/2 quand x tend vers un infini je pense.

[invitecb4966fc]

Oui, tu as raison, c'est moi qui suis conne

Pour l'asymptote d'éq y=3/2, il faut que y tende vers 3/2 quand x tend vers un infini je pense.

Je ne comprends pas qu'est ce que y=3/2 peut nous faire trouver?

[invitec6946ef0]

Eh bien je crois que ça permet de trouver a, car si tu factorises f(x) par x², tu trouves x²(a+b/x) / x²(2+ 1/x² - 4/x ).
Si on simplifie par x², on trouve f(x) = a/2 puisque x tend vers l'infini, et donc a=3. Mais je ne suis pas sûre.

Quant à la tangeante en 0 qui a pour éq -2x, cela veut dire f'(0) = -2
f'(x) = (6x+b) / (4x-4) alors f'(0) = b/-4 <=> b= 8

Dsl si c'est faux =S

[invitecb4966fc]

Eh bien je crois que ça permet de trouver a, car si tu factorises f(x) par x², tu trouves x²(a+b/x) / x²(2+ 1/x² - 4/x ).
Si on simplifie par x², on trouve f(x) = a/2 puisque x tend vers l'infini, et donc a=3. Mais je ne suis pas sûre.

Quant à la tangeante en 0 qui a pour éq -2x, cela veut dire f'(0) = -2
f'(x) = (6x+b) / (4x-4) alors f'(0) = b/-4 <=> b= 8

Dsl si c'est faux =S

Je ne comprends pas comment tu es passé de x²(a+b/x) / x²(2+ 1/x² - 4/x ) à f(x)= a/2 ?? Merci pour ton aide !

[invitec6946ef0]

Pour qu'il y ait une asymptote verticale en 3/2, il faut que x tende vers l'infini. Or, si x tend vers l'infini, b/x tend vers 0, 1/x² et -4/x tendent aussi vers 0. Donc, a+b/x tend vers a et 2+ 1/x²- 4/x tend vers 2. Donc a=3 et y tend bien vers 3/2 quand x tend vers l'infini. De rien, j'éspère simplement que c'est juste x)

[invitecb4966fc]

Ok, merci infiniment !