recherche de centre

[invite766b3b71]

Bonjour à tous
Normalement je trouve mes reponses sur les forums mais pour celle ci je n'ai rien trouvé.
J'ai un probleme surlequel je planche depuis un bon moment et le pire c'est qu'il me semble que lors de mes etudes j'avais travaillé sur des exercices qui y ressemble, mais la je seche.

J'ai trois points, par exemple A,Bet C qui forment un triangle. Apres manipulation il se trouve que le triangle a subit une rotation et ses nouvelles coordonnées sont A'B'C'. Mais on ne connait pas les coordonnees du centre de rotation (normalement il est à l'interieur du triangle mais dans l'absolu il peut se trouver à l'exterieur). Ma question est : comment trouver le centre de rotation a partir des précédentes données ?

Si c'est impossible est ce qu'avec 4 points, un carré il serait possible de le trouver.
A l'inverse si c'est possible est ce qu'avec 2 points, un segment on pourrait trouver le centre de la rotation.

Merci
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[invitea41c27c1]

Geometriquement:
Le centre est l'intersection des bissectrices de [A,A'] et [B,B'].

Analytiquement:
Matriciellement la transformation est: X' = R(X-C),
soit 4 inconnues.

Dans les deux cas 2 points suffisent (a condition qu'on ait bien affaire a une rotation).

[invite766b3b71]

Es tu sur ? Car en faisant la methode géométrique avec les bissectrices sur un cas simple quelconque: un triangle abc quelconque qui fait une rotation de 90° en c. L'intersection des bissectrice ne donne pas le centre de rotation, en l'occurence c.

[invitea41c27c1]

Oui j'en suis sur (tu veux la preuve?). Si ce n'est pas le cas c'est que ton triangle n'a pas subit une rotation.

(D'ailleurs pourquoi tu penses que ton exemple ne donne pas le point c?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite766b3b71]

ok, je vais revérifier ce que j'ai fait. Par contre au niveau de ton equation matricielle que represente R et C ? (C est surment le centre mais R) Merci de ton aide.

[invitea84d96f1]

Salut,
si le triangle ABC tourne sans déformation, A, B et C décrivent chacun un (arc de) cercle ayant un même centre appelé O par exemple. Dès lors...
OA = OA' (car sans déformation)
OB = OB'
OC = OC'
celà prouve que O est sur les 3 médiatrices successives de AA', BB' et CC'.

[invite766b3b71]

Apres verification sous Autocad je peux te certifier que le centre de rotation n'est pas donné par les bissectrices. Si bien evidement tu utilises bissectrice dans la bonne définition, c'est a dire la demi droite qui coupe un angle en son milieu.

[invite766b3b71]

Super merci beaucoup. Au niveau matriciel tu ne serais pas comment on pourrait le trouver.

[invité576543]

Garnet voulait dire médiatrices de AA' et BB'. Il parlait bien de segments, pas d'angles, suffisait de corriger...

Cordialement,

[invitea84d96f1]

Super merci beaucoup. Au niveau matriciel tu ne serais pas comment on pourrait le trouver.

Remarque que 2 points A et B par exemple suffisent.
En matriciel ?
Dans le plan (2D donc) chaque point est défini par 3 (trois) coordonnées HOMOGENES s = (x,y,h) (on peut poser h=1). Par rotation, s devient s' via la matrice 3x3 de rotation+translation M (parce que le centre n'est pas nécessairement l'origine)
s' = M.s

M est décomposé en...
1. une translation (-tx,-ty) pour ramener le centre O à l'origine
2. une rotation d'un angle thêta
3. une translation (tx, ty) pour remettre le centre au point O initial
M = M₃.M₂.M₁

c'est un peu compliqué d'écrire avec le clavier..
Essaye de t'en sortir avec cette idée (qui marche !)

Note:
1. forme de la matrice de translation
1 0 tx
0 1 ty
0 0 1

2. forme de la matrice de rotation
cos(thêta) -sin(thêta) 0
sin(thêta) cos(thêta) 0
0 0 1

EDIT : avec 2 points A et B et la propriété |AB| = |A'B'| on peut résoudre le système d'équations

[invite766b3b71]

oki merci a tous les 2

[invitea41c27c1]

Garnet voulait dire médiatrices de AA' et BB'. Il parlait bien de segments, pas d'angles, suffisait de corriger...

Cordialement,

Merci beaucoup !! Desole pour la faute...

Pour R, c'est soit une matrice de rotation si tu fais des matrices, c'est soit un complexe de module 1 si tu fais en complexe.

[invite766b3b71]

Au fait, au niveau de la formule X=R(x-C) C est le centre ? et R C'est quoi ?
(ok merci, desolé on a repondu en même temps)

[JPL]

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