Exercice sur la dérivation

[invite17ebf8dd]

Bonjour à tous , je suis éleve en Seconde et je souhaite m'orienter en Première S l'an prochain , je m'entraîne donc a faire des exercices de Premières, seulement voila j'ai un peu de difficultés.

C'est pourquoi je me permets de vous demander de me dire les solutions pour l'exercice suivant, afin que je puisse le refaire tout seul par la suite, Merci d'avance.

Soit f la fonction définie sur [0 ; + Infini [ par f (x) = (3x+7)/(x+1) et soit (C) sa courbe.
1°)Calculer f’(x) puis étudier son signe
2°)Dresser son tableau de variation.
3°)Soit A le point d’abscisse 1 de la courbe de f.
Déterminer une équation de la tangente (T) à cette courbe en A.
4°)Calculer, puis étudier le signe de f (x) – 3.
En déduire la position relative de la courbe (C) et de la droite (d) d’équation y = 3.
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[invitec6946ef0]

Je ne m'inquiétais pas comme ça l'année dernière

f (x) = (3x+7)/(x+1) , forme u/v et (u/v)' = (u'v - v'u) / v².
La dérivée de 3x est 3, la dérivée de 7 est 0, donc la dérivée de 3x+7=3. La dérivée de x est 1, la dérivée de 1 est 0, donc la dérivée de x+1=1.
On a alors f'(x) = [ 3(x+1) - (3x+7) ] / (x+1)² = -4/(x+1)².

(x+1)² > ou = à 0 sur R, donc f'(x) négative sur R - { -1 } puisque le dénominateur ne peut être = à 0.

L'équation d'une tangeante se calcule par la formule f'(a)(x-a)+f(a), donc pour le point A d'abscisse 1 de la courbe F, on a T(1) = f'(1)(x-1)+f(1) = -x + 6

f(x) - 3 = (3x+7)/(x+1) - 3(x+1) / (x+1) = 4/(x+1) : Forme 1/u , la dérivée vaut u'/u² : (4/(x+1))' = 4/(x+1)²
4/(x+1)² > 0 sur R, on en déduit que (C) est au dessus de (d).

[invite17ebf8dd]

Merci Mademoiselle D , c'est tres gentil de ta part.

Peux tu me dire a quel stade de l'exercice t'es tu arretée ? merci d'avance.

[invitec6946ef0]

Tiens, je ne peux plus modifier. Je corrige mes erreurs et je te met les correspondances ^^

1. f (x) = (3x+7)/(x+1) , forme u/v et (u/v)' = (u'v - v'u) / v².
La dérivée de 3x est 3, la dérivée de 7 est 0, donc la dérivée de 3x+7=3. La dérivée de x est 1, la dérivée de 1 est 0, donc la dérivée de x+1=1.
On a alors f'(x) = [ 3(x+1) - (3x+7) ] / (x+1)² = -4/(x+1)².

2. (x+1)² > ou = à 0 sur R, donc f'(x) négative sur R - { -1 } puisque le dénominateur ne peut être = à 0. Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante et inversement. Donc pour les variations de f : f décroissante sur R.

3. L'équation d'une tangeante se calcule par la formule f'(a)(x-a)+f(a), donc pour le point A , on a T(1) = f'(1)(x-1)+f(1) = -x + 6

4. f(x) - 3 = (3x+7)/(x+1) - 3(x+1) / (x+1) = 4/(x+1) . x+1 > 0 quand x > -1, donc 4/(x+1) > 0 quand x > -1. On en déduit que (C) est au dessus de (d) quand x > -1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite17ebf8dd]

c'est vraiment tres sympa de ta part et je t'en suis reconnaissant, merci beaucoup.

[invitec6946ef0]

De rien ^^ J'ai pu revoir les dérivées comme ça

[invite17ebf8dd]

ok c'est cool alors ^^ , j'ai un autre exercice que j'aimerai voir complet, si cela ne te dérange pas et si tu as un petit peu de temps , dis le moi et je pourrais le poster.

Merci Mademoiselle D.

[invitec6946ef0]

Ok , mais je ne te garantis rien x) Mais tu sais, si t'as de bons résultats en 2nde, c'est vraiment pas la peine de t'inquiéter

[invite17ebf8dd]

ok c'est tres gentil.

Donc l'exercice est :


Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x^3 – 3x^2 +2x +1 et Cf sa courbe représentative.
1)Calculer f’(x) puis étudier son signe.
2)Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3)On appelle (TA) la tangente à Cf au point A d’abscisse 0.
a.Déterminer l’équation réduite de (TA).
b.Etudier les positions relatives de Cf et (TA).
c.Montrer que Cf admet une tangente strictement parallèle à (TA).

[invitec6946ef0]

1. f(x) = x^3 – 3x^2 +2x +1, la dérivée de x^n est nx^n-1 donc f'(x) = 3x² - 6x +2.
f'(x) est un trinôme du 2nd degré, càd, la forme ax² + bx + c, pour le résoudre, du dois calculer les racines ( càd quand l'équation vaut 0 ) à l'aide de delta qui vaut b² - 4ac, donc delta = 36 - 4x3x2 = 12.

Quand delta > 0, il y a 2 racines que l'on calcule ainsi :
x1 = (-b + racine de delta) / 2a = (6+racine de 12) / 6 = (2 racine de 3)/6 +1
x2 = (-b - racine de delta) / 2a = (-2 racine de 3)/6 +1
A l'extérieur des racines, le trinome a le signe de a, donc >0. A l'intérieur <0.

2. Donc, f(x) croissante quand x est à l'extérieur des racines et décroissante quand x est à l'intérieur des racines.

3.a.TA = f'(0)(x-0)+f(0) = 2x + 1

b.Cf - TA = x^3 – 3x^2 +2x +1 - (2x+1) = x^3 - 3x^2= x(x²-3x)
Etudions le signe de x²-3x ( c'est un trinome ) :
Avec la même méthode on obtient x1 = 0 et x2 = 3, donc x²-3x < 0 sur [0;3] ( signe de -a à l'intérieur des racines )
Donc x(x²-3x) est négative sur ]-oo;3] et positive sur [3;+oo[
Donc Cf est au dessus de TA sur [3;+oo[ et en dessous sur ]-oo;3]

c. Il faudrait qu'il y ait une autre tangeante de coeff directeur 2 pour qu'elles soient //et la dérivée est le coeff directeur de la tangeante, donc :
f'(x) = 2 <=> 3x² - 6x +2 = 2 <=> 3x²-6x = 0
Encore un trinome xD x1=0 et x2=-2 ,
De ces résultats, tu sais que la tangeante en -2 a pour coeff directeur 2 tout comme celle en 0 => Elles sont //.

[invite17ebf8dd]

c'est vraiment super d'avoir des personnes aussi sympa que toi Mademoiselle D , je te remercie énormément , est tu sure de tes réponses ou est ce que tu hésites un peu sur qq questions ??

[invitec6946ef0]

xDDDC'est rien! Je suis sûre de mes réponses mais il y a toujours le risque qu'une erreur de calcul se soit glissée par là comme si souvent en contrôle

[invite17ebf8dd]

ok merci , je poste un avant dernier exo qui me préoccupe avant d'aller étudier ces corrigés , merci a celui ou celle qui voudra bien m'aider.

On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = (40x+30)/(x²+1) et Cf sa courbe représentative.
1)a. Calculer la dérivée f’(x) et étudier son signe.
b. En déduire le sens de variation de f puis tracer son tableau de variations.
2)a. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 3.
La donner sous la forme y = g(x).
b. Résoudre l’équation f(x) = g(x).

[mx6]

Bonjour ameliiy,

Je veux bien t'aider, mais j'ai l'impression que tu attends à une correction directe comme a fait Mademoiselle D. Je rappelle que le but c'est d'aider à faire ses exercices, et non pas de donner des solutions prêtes à être notées par ton prof.

Je ne comprend pas où tu te bloques dans cette exercice, c'est le même type que le précédant. Je t'invite à nous dire où tu trouves des problèmes.

[invite17ebf8dd]

ok désolé , c'est vrai que le sujet peut se présenter comme cela , mais lis donc mon premier post et tu comprendras , désolé encore.
c'est un entrainement personnel , si tu le prend comme cela , il n'y a aucun problème et je te comprends, pour éviter toute confusion , l'exercice que j'ai posté précédemment est le dernier que je demande de la sorte , merci de votre compréhension.

Bonne journée

[mx6]

Re,

Pour la dérivée même type que précédemment, pour le signe même chose aussi, toujours même méthode pas de difficultés.

Equation de tangente en un point : .

Résoudre permet de conclure sur les points d'intersection.

Tu trouves des problèmes où ?