Bonjour,
En utilisant la définition de la dérivée, à savoir
f(x+Dx) + f(x)
Limite de -------------------
Dx -> 0 Dx
Quel serait le raisonnement pour trouver la dérivée de 2^x (deux exposant x) ?
J'arrive à un cas indéterminé : 0/0 (0 sur 0)
Merci d'avance
Meta Lyck
quand t'arrives à lim(x->0) f(x)/g(x) = 0/0 la règle de l'hospital veut que tu peux dériver numérateur et dénominateur et donc lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) f'(x)/g'(x)
normalement t'obtiens 2^x * ln(2) je crois
à noter que dans t'as définition c'est ( f(x+dx)-f(x) )/dx et pas +
t'as -> taoscour !
j'viens de me rendre compte que c'est un peu débile parce que tu utilises alors une dérviée de 2^dx pour trouver la dérivée de 2^xalors je sais pas trop comment faire autrement
Effectivement j'ai fait une erreur dans la définition de la dérivée, le numérateur est bien f(x+dx) - f(x)
Comment obtenir une dérivée de 2^dx ?
Puisque dx tends vers 0 ...
J'obtiens ( 2^x + 2^x ) / 0
Ca me donne un nombre inifini ? (dénominateur qui tend vers 0)
Ou bien c'est simplement un cas indéterminé ?
Je dois avouer que j'ai bcp de mal...
la réponse en tout cas c'est 2^x * ln(2)
normalement t'arrives sans trop de pb à:
lim(dx->0) 2^x (2^dx - 1) / dx qui vaut effectivement 0/0 à la limite...
ce que je faisais ct prendre
f(dx) = 2^dx - 1
g(dx) = dx
f'(dx) = 2^dx ln(2)
g'(dx) = 1
-> lim(dx->0) 2^x f(dx)/g(dx) = lim(dx->0) 2^x f'(dx)/g'(dx) = 2^x ln(2) mais ça n'a pas trop de sens, on démontre un truc en l'utilisant
Tu écris (2^(x+h)-2^x)/h=2^x(2^h-1)/h, maintenant on fait tendre h vers 0.
2^h=e^(hln(2)) et on fait un développement limité de exp :
2^h=1+hln(2)+o(h)on en déduit bien (2^(x+h)-2^x)/h tend vers 2^xln(2) quand h tend vers 0.
