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Une dérivée




  1. #1
    MetaLyck
    Bonjour,
    En utilisant la définition de la dérivée, à savoir


    f(x+Dx) + f(x)
    Limite de -------------------
    Dx -> 0 Dx

    Quel serait le raisonnement pour trouver la dérivée de 2^x (deux exposant x) ?

    J'arrive à un cas indéterminé : 0/0 (0 sur 0)

    Merci d'avance

    Meta Lyck

    -----


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  3. #2
    olle
    quand t'arrives à lim(x->0) f(x)/g(x) = 0/0 la règle de l'hospital veut que tu peux dériver numérateur et dénominateur et donc lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) f'(x)/g'(x)

    normalement t'obtiens 2^x * ln(2) je crois

    à noter que dans t'as définition c'est ( f(x+dx)-f(x) )/dx et pas +

  4. #3
    olle
    t'as -> ta oscour !


  5. #4
    olle
    j'viens de me rendre compte que c'est un peu débile parce que tu utilises alors une dérviée de 2^dx pour trouver la dérivée de 2^x alors je sais pas trop comment faire autrement

  6. #5
    MetaLyck
    Effectivement j'ai fait une erreur dans la définition de la dérivée, le numérateur est bien f(x+dx) - f(x)

    Comment obtenir une dérivée de 2^dx ?
    Puisque dx tends vers 0 ...

    J'obtiens ( 2^x + 2^x ) / 0
    Ca me donne un nombre inifini ? (dénominateur qui tend vers 0)
    Ou bien c'est simplement un cas indéterminé ?

    Je dois avouer que j'ai bcp de mal...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    olle
    la réponse en tout cas c'est 2^x * ln(2)

    normalement t'arrives sans trop de pb à:

    lim(dx->0) 2^x (2^dx - 1) / dx qui vaut effectivement 0/0 à la limite...
    ce que je faisais ct prendre

    f(dx) = 2^dx - 1
    g(dx) = dx

    f'(dx) = 2^dx ln(2)
    g'(dx) = 1

    -> lim(dx->0) 2^x f(dx)/g(dx) = lim(dx->0) 2^x f'(dx)/g'(dx) = 2^x ln(2) mais ça n'a pas trop de sens, on démontre un truc en l'utilisant

  9. #7
    BS
    Tu écris (2^(x+h)-2^x)/h=2^x(2^h-1)/h, maintenant on fait tendre h vers 0.
    2^h=e^(hln(2)) et on fait un développement limité de exp :
    2^h=1+hln(2)+o(h)on en déduit bien (2^(x+h)-2^x)/h tend vers 2^xln(2) quand h tend vers 0.

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