Combinaison un peu compliquée

[Sans Nom]

Bonjour,

Je cherchais hier soir à appliquer la formule des combinaisons pour voir la différence de chances de gain à l'Euromillion selon la mise que l'on joue, mais j'avoue ne pas y arriver quand on augmente la mise car les données sortent du cadre de la formule des combinaisons. Voici comment fonctionne l'Euromillion:

Il faut choisir:

• 5 nombres sur 50
• 2 étoiles sur 9

Jusque là, tout va bien, on applique la formule des combinaisons, l'ordre n'étant pas comptabilisé, ça donne:

( 50! / (5! (50-5)! ) ) × ( 9! / ( 2! (9-2)! ) ) ≈ 76 millions

Il y a donc 76 millions de façons possibles de faire une grille de l'Euromillion.

Il est possible de payer un surplus et d'avoir droit de cocher davantage de nombres et d'étoiles. Par exemple, on peut choisir:

• 8 nombres sur 50
• 3 étoiles sur 9

On peut aussi choisir:

• 6 nombres sur 50
• 8 étoiles sur 9

Mais le tirage reste le même: Il ne faut que 5 bons numéros et 2 bonnes étoiles (même si c'est déjà extrèmement peu probable). Comment appliquer ces nouvelles données à la formule de la combinaison pour avoir la probabilité des deux mises où l'on paye davantage ?
Merci,
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je vais prendre un exemple plus simple que l'exercice proposé. Imaginons un tirage sur les nombres de 1 à 10 et qu'on doive en choisir 2 .

Il y a 10!/(2!.8!) = 45 combinaisons possibles d'où une chance sur 45 de gagner.

Imaginons maintenant qu'on nous propose de choisir non plus 2 mais 3 nombres mais que le tirage se fait toujours sur 2 nombres.

Initialement, j'avais joué le couple (2,6) avec 1 chance sur 45 de gagner. Maintenant je peux jouer (2,6,7). Je gagnerai donc si les couples (2,6), (2,7) ou (6,7) tombent. Ce qui revient à jouer 3 fois 2 numéros.
De même, si je pouvais jouer 4 nombres ( (2,6,7,8) pour l'exemple), ce serait équivalent à jouer les couples (2,6), (2,7), (2,8), (6,7), (6,8) et (7,8). Ce qui revient à jouer 6 fois 2 numéros.

Pour généraliser, en jouant n numéros, c'est équivalent à jouer n!/(2!(n-2)! fois 2 numéros.

La probabilité de gagner est donc multipliée par ce coefficient.

Est-ce clair quant à l'application à l'EuroMillions ?

[Sans Nom]

Merci, si j'ai bien compris, on a 168 fois plus de chances de gagner en choisissant une de ces deux mises maximales, c'est bien ça ? (si c'est le cas, ça doit être une chance sur 454 020).

[NicoEnac]

168 fois plus de chances, c'est aussi ce que j'ai trouvé.

Au fait comment calcules-tu l'espérance ? Tiens tu compte des cas où le joueur n'a que 4 numéros sur les 5 ? Ou simplement le gros lot ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sans Nom]

Oui, simplement le gros lot
Encore merci !

[NicoEnac]

Par contre, combien coûte le surplus lorsqu'on veut jouer 8 numéros et 3 étoiles ? J'ai un doute tout à coup car si on a 168 fois plus de chances de gagner, le prix, pour compenser, devrait être au moins 168 fois plus élevé afin que la Française des Jeux soit gagnante (ce qui est toujours le cas).

[Sans Nom]

Le compte est bon ! Pas folle, la FDJ...Une grille coûte €2 et la mise maxi coûte €336 (avec des mises intermédiaires et des tarifs proportionnels).

[NicoEnac]

336/2 = 168 ! OK je suis soulagé ! Je ne pensais pas que la FDJ était folle mais plutôt que notre résultat n'était pas juste ce qui m'aurait un peu embêté...