Couronne avec 3 roues dedans. Diamètre max des roues ?

[Myr]

Bonjour, bonsoir,
Une couronne possède une circonférence intérieure de 300 mm.
Quel diamètre max peuvent avoir chacune des 3 roues identiques qui sont placées placées en triangle à l'intérieur ?
Merci.
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[Myr]

Merci aux volontaires de détailler les calculs et les expliquer.

[Jeanpaul]

Pas difficile si on se donne la peine de faire un beau dessin bien propre.
On appelle O le centre de la couronne et R son rayon. On appelle A1 et A1 les centres de 2 des cercles inscrits, r le rayon.
On regarde alors le triangle O A1 A2 et on applique la relation d'Al Kashi :
A1A2² = OA1² + OA2² - 2 OA1 OA2 cos (120°)
Ca donne une équation où la seule inconnue est r. (Evident que OA1 = R-r)

[Myr]

Pas difficile si on se donne la peine de faire un beau dessin bien propre.
On appelle O le centre de la couronne et R son rayon. On appelle A1 et A1 les centres de 2 des cercles inscrits, r le rayon.
On regarde alors le triangle O A1 A2 et on applique la relation d'Al Kashi :
A1A2² = OA1² + OA2² - 2 OA1 OA2 cos (120°)
Ca donne une équation où la seule inconnue est r. (Evident que OA1 = R-r)

Il y a 3 roues, pas 2. Quels sont la formule, le calcul, et le résultat, stp, pour 300 mm et 3 roues ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Il y a 3 roues, pas 2. Quels sont la formule, le calcul, et le résultat, stp, pour 300 mm et 3 roues ?

Et pourquoi pas un café et des croissants ?

Le principe de ce forum est d'orienter les personnes, pas de les assister en leur donnant des solutions toutes faites qu'elles ne comprendront peut-être même pas !

Alors dis nous dans quelles directions tu as cherchées, où tu bloques, etc...

[Myr]

Il ne faut pas le prendre comme ça !
Je n'ai pas besoin de comprendre dans le détail, d'autant que la formule seule ne me servirait strictement à rien, ce n'est pas de mon niveau.
J'ai besoin simplement du résultat, et si possible de la démonstration qui m'aidera à dégrossir le problème.
N'y comprenant strictement rien pour l'instant, tu avoueras que la formule est plutôt dé-roue-tante ... pour un néophyte ! J'ai d'abord cru que l formule ne tenait compte que de 2 roues ....

[NicoEnac]

Désolé, il y a trop de gens qui arrivent en demandant la réponse directe et qui ne comprennent pas que leur intérêt est dans la recherche de la solution.

As-tu fait un dessin du système ? Tu y verrais un tout petit peu plus clair. Sinon la solution de JeanPaul est correcte.

[Myr]

Merci de prendre le temps de répondre à mes messages.
Mon intérêt, puisque tu en parles, est d'obtenir la solution rapidement et d'urgence pour des raisons professionnelles. Comprendre, d'accord, mais après.

[NicoEnac]

En utilisant la formule de JeanPaul :

A1A2² = OA1² + OA2² - 2.OA1.OA2.cos(120°)
r² = (R-r)² + (R-r)² - 2.(R-r).(R-r).(-0.5)

Ya plus qu'à exprimer r (rayon des petites roues) en fonction de R (rayon de la couronne).

[Jeanpaul]

En utilisant la formule de JeanPaul :

A1A2² = OA1² + OA2² - 2.OA1.OA2.cos(120°)
r² = (R-r)² + (R-r)² - 2.(R-r).(R-r).(-0.5)

Ya plus qu'à exprimer r (rayon des petites roues) en fonction de R (rayon de la couronne).

Correctif : A1A2= 2 r donc
(2r)² = 3 (R-r)² donc 2 r = (R-r) racine(3)
donc r = R. racine(3)/(2 + racine(3)) = 0.464 R et comme R=150 mm...

[Myr]

A1A2² = OA1² + OA2² - 2.OA1.OA2.cos(120°)
r² = (R-r)² + (R-r)² - 2.(R-r).(R-r).(-0.5)

Bonjour, bonsoir,
Quelqu'un voudrait-il effectuer ce calcul avec R = 150 mm. Je ne sais pas faire. La dernière fois que j'ai été à l'école, c'était il y a 29 ans.
Merci par avance.


PS : Pour rappel, il s'agit de déterminer le diamètre max de 3 roues identiques de façon à ce qu'elles puissent rentrer dans une couronne de 300 mm de diamètre.

[Myr]

Nos messages se sont croisés.
Merci Jean-Paul.
r=69,6mm

[NicoEnac]

Correctif : A1A2= 2 r

Décidément...Heureusement que JeanPaul a vu ma faute ! Dsl

[Myr]

Et maintenant, "just for fun", quelle serait la formule et le "coefficient" pour déterminer le diamètre max d'une roue qui s'inscrirait à l'intérieur de l'espace situé entre 3 roues qui se touchent, disposées en triangle ?

[Jeanpaul]

C'est un calcul très similaire. On trouve que le rapport r/R vaut (2-racine(3))/racine(3) soit sensiblement r/R = 0.155