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Systeme d'equations lineaires [2ND]



  1. #1
    Tomy Peters

    Systeme d'equations lineaires [2ND]


    ------

    Bonjour a tous,
    je viens sur votre forum car un probleme mathématique me bloque.

    Je vous l'explique :

    Il s'agit de resoudre le systeme suivant.



    On a

    Je pensais faire une etude de cas en calculant le determinant du systeme.
    Si le determinant :


    J'ai donc deux cas possible :

    1) Si alors le systeme n'a aucune ou une infinite de solutions et j'ai et .
    J'ai cepdendant l'impression de m'egarer, que ça ne m'aidera pas a resoudre mon systeme.

    2) Si alors c'est un systeme de Cramer, il a une solution donnee et par le meme principe que ci-dessus je retrouve a=-b et a=b, or l'enonce de depart m'interdit justement cette hypothese.

    J'en deduis donc que seul mon 1) est valable, mais a partir de la je bloque ...

    Je vous remercie beaucoup si vous pouvez m'eclairer quelque peu sur mon probleme et vous souhaite un agreable week-end

    Jeff.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Systeme d'equations lineaires [2ND]

    Si a et b (réels je suppose) n'ont pas la même valeur absolue, alors a² et b² sont différents, c'est toujours un système de Cramer.

  4. #3
    Tomy Peters

    Re : Systeme d'equations lineaires [2ND]

    Merci beaucoup de cette reponse tres rapide !

    Une autre piste : si alors pour j'ai un seul couple solution qui est (0,0).

    Je ne suis pas tres sur.

  5. #4
    tuan

    Re : Systeme d'equations lineaires [2ND]

    Salut,

    D'abord on suppose que a et b sont non nuls, sinon il y aura pas de discussion.

    1. Une équation linéaire est dite HOMOGENE quand elle ne renferme pas de terme indépendant.
    C'est le cas de tes 2 équations.

    2. Un système d'équation linéaires homogènes admet toujours la solution BANALE x=0 et y=0.
    C'est vérifiable facilement.

    3. Quand il n'admet une solution non banale x=alpha et y=bêta, toute couple x=k.alpha et y=k.bêta (k est nombre arbitraire) est aussi une solution : une infinité de solutions.
    C'est aussi vérifiable facilement.

    Maintenant, sans avoir besoin de ces considérations on résout "calmement" le système :
    - multiplions la 1e équation par a, on a : a2x +aby =0
    - multiplions la 2e équation par b, on a : b2x +aby =0
    - la soustraction des deux donne (a2-b2).x = 0
    On voit que...
    - si le déterminant (a2-b2) du système est non nul, x est nul. (y aussi). (solution banale)
    - s'il est nul, x peut prendre n'importe quelle valeur. (y aussi). (infinité de solutions)

  6. #5
    Tomy Peters

    Re : Systeme d'equations lineaires [2ND]

    Bonjour a tous, je viens de rediger la demonstration definitive que je vous soumets.

    Soit le systeme (S) tel que :

    (1) ax + by = 0
    (2) bx + ay = 0

    avec

    Resolution par le caclul :

    Soit det(S) le determinant du systeme carre (S), on a det(S) = a²-b²

    det(S) ne peut etre nul car on a

    1) Si a = 0 et

    by=0 et bx=0 donc x=0 et y=0

    2) Si b = 0 et

    ax=0 et bx=0 donc x=0 et y=0

    3) Si et

    on resoud le systeme de Cramer par combinaison lineaire,

    (1).a => a²x + aby = 0
    (2).b => b²x + aby = 0

    Puis (1)-(2) => (a²-b²)x=0
    et (1) => ax + by = 0

    On a x = 0 puisque et si x = 0 alors by = 0 et donc y = 0

    Le seul couple solution est donc (0,0) dans tous les cas.

    Resolution graphique :

    Le systeme (S) revient à :





    On remarque que concernant la pente des droites :



    avec

    Les deux fonctions sont lineaires, leur point d'intersection solution du systeme est donc (0,0).

  7. A voir en vidéo sur Futura

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