Systeme d'equations lineaires [2ND]

[invite5c559417]

Bonjour a tous,
je viens sur votre forum car un probleme mathématique me bloque.

Je vous l'explique :

Il s'agit de resoudre le systeme suivant.



On a

Je pensais faire une etude de cas en calculant le determinant du systeme.
Si le determinant :


J'ai donc deux cas possible :

1) Si alors le systeme n'a aucune ou une infinite de solutions et j'ai et .
J'ai cepdendant l'impression de m'egarer, que ça ne m'aidera pas a resoudre mon systeme.

2) Si alors c'est un systeme de Cramer, il a une solution donnee et par le meme principe que ci-dessus je retrouve a=-b et a=b, or l'enonce de depart m'interdit justement cette hypothese.

J'en deduis donc que seul mon 1) est valable, mais a partir de la je bloque ...

Je vous remercie beaucoup si vous pouvez m'eclairer quelque peu sur mon probleme et vous souhaite un agreable week-end

Jeff.
-----

[invitea3eb043e]

Si a et b (réels je suppose) n'ont pas la même valeur absolue, alors a² et b² sont différents, c'est toujours un système de Cramer.

[invite5c559417]

Merci beaucoup de cette reponse tres rapide !

Une autre piste : si alors pour j'ai un seul couple solution qui est (0,0).

Je ne suis pas tres sur.

[invitea84d96f1]

Salut,

D'abord on suppose que a et b sont non nuls, sinon il y aura pas de discussion.

1. Une équation linéaire est dite HOMOGENE quand elle ne renferme pas de terme indépendant.
C'est le cas de tes 2 équations.

2. Un système d'équation linéaires homogènes admet toujours la solution BANALE x=0 et y=0.
C'est vérifiable facilement.

3. Quand il n'admet une solution non banale x=alpha et y=bêta, toute couple x=k.alpha et y=k.bêta (k est nombre arbitraire) est aussi une solution : une infinité de solutions.
C'est aussi vérifiable facilement.

Maintenant, sans avoir besoin de ces considérations on résout "calmement" le système :
- multiplions la 1e équation par a, on a : a²x +aby =0
- multiplions la 2e équation par b, on a : b²x +aby =0
- la soustraction des deux donne (a²-b²).x = 0
On voit que...
- si le déterminant (a²-b²) du système est non nul, x est nul. (y aussi). (solution banale)
- s'il est nul, x peut prendre n'importe quelle valeur. (y aussi). (infinité de solutions)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c559417]

Bonjour a tous, je viens de rediger la demonstration definitive que je vous soumets.

Soit le systeme (S) tel que :

(1) ax + by = 0
(2) bx + ay = 0

avec

Resolution par le caclul :

Soit det(S) le determinant du systeme carre (S), on a det(S) = a²-b²

det(S) ne peut etre nul car on a

1) Si a = 0 et

by=0 et bx=0 donc x=0 et y=0

2) Si b = 0 et

ax=0 et bx=0 donc x=0 et y=0

3) Si et

on resoud le systeme de Cramer par combinaison lineaire,

(1).a => a²x + aby = 0
(2).b => b²x + aby = 0

Puis (1)-(2) => (a²-b²)x=0
et (1) => ax + by = 0

On a x = 0 puisque et si x = 0 alors by = 0 et donc y = 0

Le seul couple solution est donc (0,0) dans tous les cas.

Resolution graphique :

Le systeme (S) revient à :





On remarque que concernant la pente des droites :



avec

Les deux fonctions sont lineaires, leur point d'intersection solution du systeme est donc (0,0).