Exercice de Maths sur la latitude.

[invite66dfa5a4]

Bonjour,

J'ai un DM de Maths et il y a un exercice que je ne comprends pas du tout, pourriez vous m'aider s'il vous plait !!!

Voici l'exercice:

La Terre est assimilée à une sphère de centre O et de rayon 6370km.
Un habitant de Philadelphie aux Etats Unis (75°W;40°N) désire se rendre à Pekin en Chine. On lui propose trois trajets:
-en suivant le parallèle de latitude 40°N d'Est en Ouest;
-en suivant le parallèle de latitude 40°N d'Ouest en Est;
-en passant par le pôle Nord en suivant le méridien de Philadelphie puis le méridien de Pékin.

Calculer une valeur approchée de la longueur de chacun de ces trajets afin d'aider le voyageur à faire son choix.

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Dans chaque cas, la trajectoire est un acr de cercle ; il te faut alors calculer la longueur de cet arc de cercle, qui vaut , avec l'angle que parcourt l'arc.

[invite66dfa5a4]

Je suis désolée mais je nai pas vraiment compris. Pourrais tu developper ?

Merci beaucoup.

[Seirios]

Prenons le premier cas :

-en suivant le parallèle de latitude 40°N d'Est en Ouest;

Pékin possède également une latitude très proche de 40°N. L'on note ensuite la différence entre la longitude de Pékin et celle de Philadelphie. Tu parcoureras finalement un cercle de rayon r = 6370 km sur un angle (j'ai mis une valeur absolue pour être certain que la valeur soit positive). Or tu sais que la longueur d'un arc de cercle est donnée par la relation de mon message précédent ; à partir de là, tu n'as plus qu'à calculer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66dfa5a4]

Alors j'ai fais ce que tu m'as dit avec l'arc de cercle et ça me donne un résultat de 12 740pi ou environ 40 024. C'est ça ?
Ensuite les longitudes de Pekin et Philadelphie sont égales donc ça fait 0. C'est normal ?
Et je refais la même chose pour le 2 éme, mais ça va me donner le même resultat non ?
Merci.

[Seirios]

Ensuite les longitudes de Pekin et Philadelphie sont égales donc ça fait 0. C'est normal ?

Quelles coordonnées as-tu ? Parce que Pékin et Philadelphie ne peuvent pas avoir la même longitude...

[invite66dfa5a4]

Non, désolé je me suis trompé, j'ai confondu. Donc ça me donne 41 pour la différence entre la longitude de Philadelphie et celle de Pékin. Mais après je fais quoi avec 41 ?

[Seirios]

Et bien tu as °, donc pour avoir la longueur l du trajet, tu n'as qu'à calculer , avec r le rayon de la trajectoire (qui n'est pas le rayon de la Terre, comme je l'ai dit plus haut, mais la distance à l'axe de rotation de la Terre) et en radians. Pour calculer r, je te conseille de faire un dessin, et de penser à utiliser le rayon de la Terre, un angle que tu connais et un triangle rectangle

[invite66dfa5a4]

Ah d'accord mais aussi je n'ai pas le rayon de la trajectoire ...

[Seirios]

Ah d'accord mais aussi je n'ai pas le rayon de la trajectoire ...

Regarde cette figure ; dans ton cas, le segment horizontal correspond à 2r, OP correspond au rayon de la Terre, et l'angle entre OP et la verticale correspond à la latitude. A partir de là, et avec la trigonométrie, tu peux trouver r.

[invite66dfa5a4]

Ok ok, donc j'ai fini le 1er trajet et ça me donne le résultat de 171 339km. J'ai bon ? Et pour le 2éme trajet cela va donner le même résultat non ?
Merci pour tout !! =D

[Seirios]

Ok ok, donc j'ai fini le 1er trajet et ça me donne le résultat de 171 339km. J'ai bon ?

Je ne trouve pas le même résultat ; j'ai trouvé r = R.sin 50°, puis au final je trouve approximativement 3 500 km.

[invite66dfa5a4]

Ah bon, comment as tu fais alors ?

[Seirios]

On a . D'ailleurs, plus de 170 000 km fait un peu beaucoup (presque la moitié de la distance Terre-Lune)...

[invite66dfa5a4]

Ah ok, et pour le deuxième trajet c'est à dire en suivant le parallèle de latitude 40°N d'Ouest en Est; ça va faire exactement la même chose non, on va retrouver le même résultat ?

[Seirios]

Pas tout à fait ; le trajet ne se fera plus sur 41°, mais sur 360-41=319°.

[invite5cc3c38e]

Désolée, mais je ne pense pas que la réponse de Phys2 soit la bonne solution au problème
Ce résultat ne me parait pas correct. La distance Paris Philadelphie est de 6000 kms environ. Peux tu revoir tes calculs? Je pense que tu l'induis en erreur.
Quelqu'un a t 'il la solution à ce problème? Je le trouve compliqué ...
Merci pour elle

[sylvainc2]

La longitude de Pékin est 116 degrés est. Donc la distance de Phila vers Pékin vers l'est est de 75 + 116 = 191 degrés, et vers l'ouest est de 360 degrés - 191 = 169 degrés. Le petit cercle de latitude 40 a un rayon de 6370 * cos(40 degrés) km = 4880 km. Donc la distance vers l'est est de 4880 * (191 * pi/180) = 16268 km , et vers l'ouest de 4880 * (169*pi/180)= 14394 km. (Un tour complet de la terre à cette latitude fait 4880 * 2pi = 30662km et c'est bien la somme de ces deux distances environ).

Par le pole, la distance angulaire au pole des deux villes est 50 degrés, donc 10 0 degrés au total. La distance est donc 6370*(100*pi/180) = 11118 km.

[Arthur1202]

Salut, je suis actuellement en 3iem.. J'ai ce maudis devoir maison de maths à faire j'ai exactement les mêmes consignes que toi.. Help me.

[ansset]

sylvain a tout expliqué.
suffit de relire.
tu peux t'amuser à placer les points sur une boule pour voir les 3 trajets .