[TS] Démo : Espérence - loi binomiale

[invite9a322bed]

Bonjour,

J'ai une démonstration de l'espérance dans une loi binomiale :



Mais elle prend 10 lignes, avez vous une autre jolie et courte ?

Ma démo repose sur le développement, un changement de variable et l'utilisation du binôme de Newton.
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour,



où les sont des lois de bernoulli independantes de parametre p.

Donc

[invite7ffe9b6a]

Sinon le calcul reponse juste sur

si ,





Donc




(le premier terme de la somme est nul)







(Changement d'indice, on commence la somme à 0, on verifie qu'on s'est pas planté en regardant le premier et le dernier terme de la somme)



Remarque:

pour la variance , on calcule d'abord E[X(X-1)] grace à



puis on en déduit puis finalement

[invitec317278e]

Voici ce qui me vient à l'esprit, ca utilise toujours Newton, mais sans "calcul".


(la somme des dérivées de la fonction entre parenthèses, avec Id représentant la fonction identité, évaluée en p)

(la somme des dérivée est la dérivée de la somme)

car la dérivée de x^n est nx^{n-1}.
Je te laisse régler les détails.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Ca fait plaisir de voir d'autres démos, voici la mienne :

On cherche à calculer .

On fait un changement d'indice :











C'est juste ?

[invitec317278e]

c'est la même qu'antho7, qui repose sur l'idée de simplifier l'élément chiant de la somme.

[invite9a322bed]

C'est possible une réccurence ?

[invitec317278e]

Sans doute, oui, mais ce sera pas plus rapide que sans.

[invite7ffe9b6a]

Le plus rapide reste d'interpreter une loi binomiale comme une somme de loi de Bernoulli de même parametre

Edit: Si on sait deja qu'une loi binomiale est une somme de bernoulli, sinon faut le montrer et du coup cela en devient aussi long