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Produit scalaire



  1. #1
    Llayn

    Produit scalaire


    ------

    Bonjour à tous!
    J'aurais besoin d'aire pour un exercice de maths:
    On nous donne le point K barycentre de deux points (L;1) et (R;2). On nous dit d'utiliser Chasles pour démontrer que :
    ML²+2MR²=3MK²+(2/3)CD²
    et sur CD on sait que C(1;-3) et D(4;0).
    J'ai essayé et je reste bloqué, je trouve (je mets un v devant les vecteurs)
    ML²+2MR²=vML²+v2MR²
    .....
    =v3MK²+vGL²+v2GR²
    et j'y arrive pas, même en sachant que vGL+v2GR=0=v3MK

    Quelqu'un saurait m'aider ? =S
    Je vous remercie d'avance.

    -----

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  3. #2
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    salut,

    tu n'as vraiment aucun autre renseignement ? car comme ça à première lecture (2/3)CD² = 12.. donc si tu as quelque chose de si précis dans le second membre ça m'étonne de pas avoir plus de renseignements..
    après je n'ai pas non plus essyé de résoudre, je demande ça d'abord..

    et aussi, M je suppose que c'est un point quelconque, donc qu'il faut montrer que ta propriété est vraie pour tout point M du plan.. et G il sort de où ?

  4. #3
    Llayn

    Re : Produit scalaire

    A la question précédente j'ai du exprimer ML²+2MR² en fonction de x et y et ça donne une équation de cercle. La on essaye de retrouver cette équation "par une méthode vectorielle" et on ne doit pas utiliser son équation dans le repère (O;i;j).
    Je me suis trompé, c'est =v3MK²+vKL²+v2KR²

  5. #4
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    oui mais si tu as une équation de cercle c'est que tu avais quelques infos en plus.. car là si j'identifie ce que tu trouves ça voudrait dire que (2/3)CD² = KL² + KR²... donc KL² + KR² = 12.. c'est bien que R et L ne sont pas quelconques.. parce que si on prend des cas tq L et R vérifient juste la pondération que tu donnes, (L,1) et (R,2) alors par exemple si on met L à l'origine et R en (3,0) sur le repère, le barycentre K sera en (2,0).. donc tu peux vérifier que KL²+KR²=9 dans ce cas précis..

    je pense donc que tu as bien d'autres choses sur lesquelles tu dois te reposer.. ou alors c'est moi qui dois sérieusement me reposer..

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Llayn

    Re : Produit scalaire

    Les infos que l'on a sont :
    repère (O;i;j) orthonormal
    L(1;-3) et R(4;0)
    (C) est l'ensemble des points M(x;y) pour que ça soit :
    ML²+MR²=87
    les différentes questions m'ont amené à exprimer donc ML²+MR² en fonction de x et de y ; après j'en ai déduis que (C) est un cercle de centre (3;1) et rayon 5.
    et ensuite vient cette question que je cherche on nous précise juste que K est le barycentre de (L;1) et (R;2)
    la question suivante est "en déduire l'ensemble (C) -ça j'ai pas non plus réussi- et on doit aussi vérifier le résultat des premières questions (centre du cercle, rayon, equation) en calculant les coordonnées de K, j'ai calculée les coordonnées donc ça j'ai réussi.
    Voilà toutes les infos de l'exo =)

  8. #6
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    ok ben dans la question que tu as je dirais bêtement tu as déjà le 3MK², et après il te reste à montrer (pas dur, juste du calcul) que KL²+KR² = (2/3)CD²

    et pour (C), sachant ce que tu viens de montrer et ce que te dit l'énoncé, tu as :

    3MK² + (2/3)CD² = 87 or (2/3)CD²=12 (se calcule)
    donc MK² = 75
    donc MK²=25
    => tu as un cercle de centre K et de rayon 5

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  10. #7
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    ah et je viens de me rendre compte que L et C sont le même point.
    Idem pour R et D.

    donc le KL² + KR² = (2/3)CD² se retrouve normalement à l'aide des propriétés du barycentre.

  11. #8
    Llayn

    Re : Produit scalaire

    Justement, j'ai cherché avec les propriétés du bary. qui donne vGL+v2GR=0+v3MK
    Mais lorsque l'on doit démontrer l'égalité, je suis justement bloqué sur : comment démontrer que vGL2+v2GR²=(2/3)CD² ?

  12. #9
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    parce que C est aussi L.... et D est aussi R...

    le barycentre de (L,1) et (R,2) est en (3,-1) ( d'ailleurs le centre de ton cercle que tu dis être en (3,1), c'est une faute de frappe ou de calcul ? car normalement le centr du cercle est aussi le barycentre de tes deux points pondérés.. bref )
    donc KL a pour coordonnées -2 suivant x et -2 suivant y donc KL² = 8
    et KR a pour coordonnées 1 suivant x et 1 suivant y donc 2KR² = 4

    d'où KL² + 2KR² = 12 or CD a pour coordonnées 3 suivant x et 3 suivant y donc CD² = 18 et donc (2/3)CD² = 12

    c'est juste du calcul..

    mais je pense (j'ai pas vérifié et mes cours de géométrie remontent à longtemps donc je sais pas si ça existe mais ça doit ) que la propriété se généralise.. je vais regarder ça

  13. #10
    Llayn

    Re : Produit scalaire

    Oh merci beaucoup, j'ai tout compris, j'ai même rétablie mon erreur, je m'étais trompé dans un développement sur le signe de y.

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