dérivé 1ère S

[invite56f5ae26]

Bonjour, voilà j'ai un devoir maison à faire en math, et j'ai juste quelques petites questions à poser, parce qu'en fait, j'ai perdu mes cours ^^' .

J'ai g(x)= x^3 - 4x +1
et je dois en étudier les variations.

Donc en fait je dois dresser le tableau de signe et en déduire le tableau de variations c'est ça?

Parce qu'en fait ça me trouble, je ne sais pas si c'est un polynome ou pas. Il manque un x² pour que ce soit un polynome non ?
Je suis désolée de poser des questions pareilles, mais sans le cours, je suis un peu perdue là.

Merci d'avance.
-----

[invitee75a95d8]

Bonjour,

C'est bien un polynôme, le coefficient de x² est 0.
Donc ta méthode est la bonne :
on dérive
on détermine le signe de la dérivée (et ses zéros)
...

[invite56f5ae26]

D'accord merci beaucoup.

J'ai dérivé la fonction est on trouve donc ( j'apelle la dérivé g'(x)):

g'(x)= 3x²-4

3x²-4=0 <=> x²=4/3
<=> x=racine (4/3) ou x=-racine(4/3)
En partant de là g'(x) est positive sur -l'infine , -2racine(1/3) négatif jusqu'à 2racine(1/3) et positif jusqu'à +l'infini.

Donc g(x) est croissance jusqu'à f(-2racine(1/3) soit 4.1 puis décroissant jusqu'à environ 2.1 est croissant jusqu'à l'infini.

Seulement on me dir que g(x)=0 a trois solutions.
Ca je le vois sur la courbe, et je peux le conjecturer mais je ne sais pas comment le trouver. On me dit juste :
Montrer que g(x)=0 a trois solutions alpha, bêta et gama avec alpha>bêta> gamma

Donc est-ce que j'ai vraiment besoin de les calculer, ou bien il suffit de monter qu'il y a trois solutions?

Merci.

[invite3ba0dddb]

après avoir dresser le tableau de variation de g tu calcule g(racine de(4/3))et g(-racine(4/3))

normalement g croit jusqu'à g(-racine de(4/3)) donc passe par 0, décroit jusqu'à g(racine de(4/3)) donc repasse par 0 et croit vers l'infini donc repasse par 0

D'accord merci beaucoup.
Donc g(x) est croissance jusqu'à f(-2racine(1/3) soit 4.1 puis décroissant jusqu'à environ 2.1 est croissant jusqu'à l'infini.

sauf que la courbe ne passerai que 1 fois par zéros donc il faudrait que tu recalcule ce qui est en rouge

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f5ae26]

Oui, merci, je me suis trompée, c'est -2,1 et non pas 2,1.

Donc je montre bien que g(x)=0 a trois solutions alpha bêta et gamma telle que alpha< bêta<gamma.

Mais je n'arrive pas à les calculer après.
Car j'ai:

g(x)=0 <=> x^3 -4x+1=0
<=> x[x²-4 +(1/x)]
<=> x=0 ou x²-4 +(1/x) =0

Mais je n'arrive pas à calculer x²-4 +(1/x) =0 parce qu'il le reste le x dans le discriminant qui me gêne.


Et merci pour votre aide, au moins j'ai pu avancer =).

[invite07dd2471]

parce que résoudre une équation du troisième degré, c'est tout simplement immonde, à moins d'avoir une solution "évidente" et de pouvoir ainsi factoriser pour avoir un trinome.

si tu voyais les formules, ya de quoi s'amuser, c'est autre chose que delta = b² - 4ac

et au dessus, à part des cas particuliers, on ne sait plus résoudre analytiquement, on ne sait faire que numériquement.

donc pour ton cas, soit tu cherches une fourchette, soit une valeur approchée.. faut cherche à la calculatrice si tu ne veux pas que cela prenne 3h ^^


sinon ya ça pour les équations du troisième degré dont le coeff de degré 2 est nul :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

[invite5150dbce]

parce que résoudre une équation du troisième degré, c'est tout simplement immonde, à moins d'avoir une solution "évidente" et de pouvoir ainsi factoriser pour avoir un trinome.

si tu voyais les formules, ya de quoi s'amuser, c'est autre chose que delta = b² - 4ac

et au dessus, à part des cas particuliers, on ne sait plus résoudre analytiquement, on ne sait faire que numériquement.

donc pour ton cas, soit tu cherches une fourchette, soit une valeur approchée.. faut cherche à la calculatrice si tu ne veux pas que cela prenne 3h ^^


sinon ya ça pour les équations du troisième degré dont le coeff de degré 2 est nul :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

La méthode de Cadran marche aussi si le coefficient du terme de degré 2 n'est pas nul mais il faut avoir oppéré un changement de variable au préalable

[invite5150dbce]

Oui, merci, je me suis trompée, c'est -2,1 et non pas 2,1.

Donc je montre bien que g(x)=0 a trois solutions alpha bêta et gamma telle que alpha< bêta<gamma.

Mais je n'arrive pas à les calculer après.
Car j'ai:

g(x)=0 <=> x^3 -4x+1=0
<=> x[x²-4 +(1/x)]
<=> x=0 ou x²-4 +(1/x) =0

Mais je n'arrive pas à calculer x²-4 +(1/x) =0 parce qu'il le reste le x dans le discriminant qui me gêne.


Et merci pour votre aide, au moins j'ai pu avancer =).

Tu ne peux pas factoriser par x dans l'expression x[x²-4 +(1/x)]
car cela impliquerait
soit x=0 soit [x²-4 +(1/x)]=0
Or si x=0, l'expression [x²-4 +(1/x)] n'a pas de sens puisque 1/0 n'a pas de sens

[invite56f5ae26]

D'accord merci ! =]

Bon ben j'vais bidouiller à la calculatrice, et faire un petit tour de magie pour arriver au résultat sur la feuille. ^^

Merci de votre aide !