Somme

**mimo13** · 11/06/2009, 19h21

Bonjour

Il y une question qui me dérange depuis quelques temps la voici :
Soit la somme $\text{[math]}$
(la somme reste jusqu'à l'infini c'est le détail le plus important)
Alors on nous demande de trouver toute les valeurs que peut prendre S.
A première vue je disais 0 et 1 mais après voici ce que j'ai trouvé:

$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ ici je comprend plus rien
J'en conclut que c'est le faite que la somme est a l'infini qui rend la chose complexe si on considère l'infini comme un nombre entier mon raisonnement est faux ceci me rappelle le fameux $\text{[math]}$
ce serait comme si on calculait une limite.

Bon je disais

est ce que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les seuls valeurs de S??

Et un grand merci pour toutes vos réponse.

**mx6** · 11/06/2009, 19h38

Ce n'est pas une somme d'une suite géométrique de raison $\text{[math]}$ et de premier terme $\text{[math]}$ ?

Il y a une erreur dans ton raisonnement, tu écris S=1-S car c'est infinie, mais comme c'est le même S, tu retranche à l'infinité de ton S à 1 dans le second membre, enfin c'est bizarre quoi ^^

invitef1b93a42 · 11/06/2009, 19h44

Oui, mx6 a raison, c'est une somme des termes d'un suite géométrique de raison $\text{[math]}$ et de premier terme $\text{[math]}$ et donc les valeurs que peut prendre cette somme sont effectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invitee2220c34 · 11/06/2009, 19h53

on définie la suite géométrique Un = (-1)n
et Sn = U0 + U1 + U2 + …………………. + Un = [1 - (-1)n+1 ]/2
Sn = 0 si n impair sinon Sn = 1 si n pair
et donc n’admet pas de limite et par suite S n’existe pas

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**mimo13** · 11/06/2009, 20h03

Envoyé par SAMIBOU

S n’existe pas

**invite1237a629** · 11/06/2009, 20h07

Bin c'est vrai que ça n'existe pas...

Si la limite d'une suite peut prendre deux valeurs possibles, alors cette suite n'a pas de limite !
Et d'ailleurs, les valeurs que peut prendre cette somme ne seraient-elles pas plutôt 0 et 1 ???

cf formule de la série géométrique... on a bien 0 et 1, et non pas 1/2 et 1.
cf aussi vos yeux : regardez la somme...

**mimo13** · 11/06/2009, 20h09

Bonsoir

Je suis tout a fait d'accord mon $\text{[math]}$ n'est rien d'autres que
$\text{[math]}$
Mais comment as tu conclut que les deux valeurs possibles de cette suite sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ??
Pour mx6 je ne crois pas avoir bien saisi ta dernière phrase peut tu m'expliquer plus ce que tu veut dire? et merci.

Cordialement

**mimo13** · 11/06/2009, 20h13

Envoyé par MiMoiMolette

Bin c'est vrai que ça n'existe pas...

Si la limite d'une suite peut prendre deux valeurs possibles, alors cette suite n'a pas de limite !

Je suis tout a fait d'accord mais une suite qui n'admet pas de limite est une suite qui n'existe pas !! excuse moi mais je n'est jamais entendu un tel terme.

Et d'ailleurs, les valeurs que peut prendre cette somme ne seraient-elles pas plutôt 0 et 1 ???

cf formule de la série géométrique... on a bien 0 et 1, et non pas 1/2 et 1.
cf aussi vos yeux : regardez la somme...

Qu'en dit tu du raisonnement post 1 ???

Cordialement

**Flyingsquirrel** · 11/06/2009, 20h14

Envoyé par mimo13

Je suis tout a fait d'accord mon $\text{[math]}$ n'est rien d'autres que
$\text{[math]}$

Cette somme n'a pas de sens. Ce que tu notes $\text{[math]}$ c'est en fait $\text{[math]}$ or cette limite n'existe pas, la suite de terme général $\text{[math]}$ diverge.

Edit : et les équations en LaTeX décalées vers le haut ça fait toujours aussi moche :/

**invite1237a629** · 11/06/2009, 20h14

Envoyé par mimo13

Bonsoir

Je suis tout a fait d'accord mon $\text{[math]}$ n'est rien d'autres que
$\text{[math]}$
Mais comment as tu conclut que les deux valeurs possibles de cette suite sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ??
Cordialement

Les deux valeurs possibles sont 0 et 1, pas 0 et 1/2...

Pour mx6 je ne crois pas avoir bien saisi ta dernière phrase peut tu m'expliquer plus ce que tu veut dire? et merci.

Il y a une erreur dans ton raisonnement, tu écris S=1-S car c'est infinie, mais comme c'est le même S, tu retranche à l'infinité de ton S à 1 dans le second membre, enfin c'est bizarre quoi ^^

Ouais, ce qu'il a dit est bizarre

Sinon, oui c'est du même ordre que 1=0.99999...
La manipulation de l'infini, qui n'est pas "exact"
A-t-on vraiment l'égalité S=1-S ?
C'est ça le problème ! Techniquement, tu as un 1 de moins dans le S de gauche. Mais puisque $\text{[math]}$ , on n'y voit que du feu... lol
Passer par la somme des termes d'une suite géométrique me paraît être le moyen le plus rigoureux =)

Je suis tout a fait d'accord mais une suite qui n'admet pas de limite est une suite qui n'existe pas !!

Sisi, ça existe bien !
Ta suite est bien définie. Eh bien elle n'admet pas forcément une limite

**mimo13** · 11/06/2009, 20h21

Bonsoir

Premièrement je voudrais m'excuser parce que j'ignorais la fait qu'on pouvait dire qu'une suite n'existe pas je me contentais de dire " une suite qui n'admet pas de limite "

Secundo

Je suis du même avis que MiMoiMolette utiliser une somme de termes géométriques serait le moyen le plus rigoureux mais je reste quand même confu.....

D'autres part mon prof de maths m'a parlé une fois (l'une de ces fameuses histoires) que les russes utilisent le fait que l'infini est un nombre entier ce serait sympa

mais je n'est aucune idée qui serait vraiment juste sur ce point....

cordialement

**invite1237a629** · 11/06/2009, 20h25

Premièrement je voudrais m'excuser parce que j'ignorais la faite qu'on pouvait dire qu'un suite n'existe pas je me contenter de dire n'admet pas de limite

Euh...si, la suite existe

En fait, S désigne la limite. C'est pour ça qu'on dit qu'elle n'existe pas. Par contre, la suite $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ existe bien.
C'est ce qu'a fait remarquer Flyingsquirrel.

**mimo13** · 11/06/2009, 20h36

Envoyé par MiMoiMolette

Euh...si, la suite existe

En fait, S désigne la limite. C'est pour ça qu'on dit qu'elle n'existe pas. Par contre, la suite $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ existe bien.
C'est ce qu'a fait remarquer Flyingsquirrel.

Dans ce cas, je suis tout a fait d'accord!!!

Mais voici une idée:
Comment une somme de nombre dans $\text{[math]}$ peut être dans $\text{[math]}$

j'en conclut que le 1/2 est faux.
Décidément je suis au comble de la confusion ......

**Flyingsquirrel** · 11/06/2009, 21h04

Envoyé par mimo13

Décidément je suis au comble de la confusion ......

Je crois que c'est plus ou moins le but de l'exercice... On définit $\text{[math]}$ comme si la suite $\text{[math]}$ convergait alors que ce n'est pas le cas ; forcément, quand on fait des calculs avec $\text{[math]}$ , on obtient n'importe quoi... notamment que ce « nombre » peut valoir 0, 1 ou 1/2.

**mimo13** · 11/06/2009, 23h46

Bonsoir

Je crois avoir saisi un bout de fil, si on parle de "succession de termes" jusqu'à l'infini, ça n'a pas de sens parce que cette "succession de termes" représente la limite d'un suite qui n'en admet pas.

Bon revenons à la question posée réellement, j'ai trouvé cette exercice dans une feuille d'une magazine (je ne sais plus laquelle) voici l'énoncé tel quel:

Donner toutes les valeurs possibles que peut prendre $\text{[math]}$ (Ici l'infini n'est pas cité)

Donc j'en conclut que l'exercice est enfaite :
Soit $\text{[math]}$
Déterminer $\text{[math]}$ Les valeurs que peut prendre Sn (et non sa limite)
Facile ces valeurs ne sont que 0 et 1.
Bien, mais ceci n'explique pas le fameux $\text{[math]}$ qui vient d'une somme de nombres dans $\text{[math]}$

J'en conclut que je viens de créer un exercice insolvable, c'est le seul résultat jusqu'ici que je vois assez plausible.

Qu'en pensez vous de tout ceci?? et merci.

Cordialement

**Seirios** · 12/06/2009, 06h43

Bonjour,

Bien, mais ceci n'explique pas le fameux $\text{[math]}$ qui vient d'une somme de nombres dans Z

Mais Flyingsquirrel y a répondu ; le fait que S n'existe pas va impliquer que son introduction dans des calculs va créer des aberrations. C'est un peu comme le calcul où l'on montre que 1=2 en divisant par zéro, ou lorsque l'on montre que 1=-1 en écrivant $\text{[math]}$ , ce sont des erreurs qui conduisent à des absurdités.

**NicoEnac** · 12/06/2009, 10h24

Bonjour,

En reprenant l'écriture de S_n : mimo13 a justement fait remarquer que S_n = 1 - S_n-1. Le problème est que comme S_n ne converge pas, on ne peut pas passer à la limite cette expression et obtenir S = 1 - S.

Encore et toujours la manipulation des infinis...Lorsqu'on écrit "..." dans une somme ou quoi que ce soit qui signifie l'infini, il faut faire attention, ça peut être lourd de sens.

Exemple : Si on prend la suite de Fibonacci, U_n+2 = U_n+1 + U_n et qu'on postule qu'elle converge, on obtient L = L + L donc L = 0. Donc la suite de Fibonacci converge vers 0 ! Attention de toujours vérifier la convergence avant d'utiliser l'infini.

**mimo13** · 12/06/2009, 10h43

Bonjour

le fait que S n'existe pas va impliquer que son introduction dans des calculs va créer des aberrations

En reprenant l'écriture de Sn : mimo13 a justement fait remarquer que Sn = 1 - Sn-1. Le problème est que comme Sn ne converge pas, on ne peut pas passer à la limite cette expression et obtenir S = 1 - S.

Effectivement vous avez raison !! Je suis enfin éclairé

Merci bien.

Cordialement

**Thorin** · 12/06/2009, 15h21

Envoyé par MiMoiMolette

Sinon, oui c'est du même ordre que 1=0.99999...
La manipulation de l'infini, qui n'est pas "exact"
A-t-on vraiment l'égalité S=1-S ?
C'est ça le problème ! Techniquement, tu as un 1 de moins dans le S de gauche. Mais puisque $\text{[math]}$ , on n'y voit que du feu... lol

Sauf que dans le cas de 0.9999...=1, la manipulation est exacte, dès lors qu'on définit (parce qu'avant de définir, en se contentant de mettre des petits points, on cause dans le vide) $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ ...

Nan, le problème dans la somme 1-1+1-1..., c'est pas le nombre de 1 ou de -1, c'est juste qu'on parle de quelque chose qui n'est pas défini.

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