trouver une équation

[parousky]

Bonjour,
je cherche à trouver l'équation d'une surface plane dont je connaît les vecteurs directeurs, pouvez-vous m'aider svp ?
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[fiatlux]

Bonjour,

les "vecteurs directeurs" se réfèrent généralement à des droites, non des surfaces... Tu peux préciser le problème stp? Combien as-tu de vecteurs et sais-tu quelle forme la surface doit avoir? Si je comprends bien ta question, par exemple pour paramétriser un carré, il faudrait 2 vecteurs, c'est ça que tu veux dire?

[parousky]

il s'agit d'un plan passant par l'origine. Je connaît trois points A B et C tel que A(0.0.0) ; B(2.0.2) et C(0.2.2). Je sais que le plan passe par ces trois points et je dois trouver l'équation du plan.

[fiatlux]

Ok. Pour paramétriser un plan, il y a plusieurs façons. Toutes les 2 impliquent de connaître 2 vecteurs du plan (englobés dans le plan), ce qui est ton cas (par exemple les vecteurs BA et CA).

1ère méthode: méthode paramétrique:
Un point quelconque M de ton plan peut être localisé en partant d'un point de ton plan (disons A, par exemple) et en se déplaçant d'un certain facteur (disons k) en direction du vecteur BA et d'un autre facteur (disons n) en direction du vecteur CA, autrement dit:
M = A + k*BA + n*CA (k et n sont des nombres réels). Autrement dit, si M est M(x;y;z), alors ton plan est donné par:
(x;y;z) = (0;0;0) + k*(2;0;2) + n*(0;2;2) ce qui peut aussi être écrit comme:
x = 2k
y = 2n
z = 2k + 2n
Je ne sais pas si c'est clair. Redis-moi si ce n'est pas le cas.

2ème méthode: méthode cartésienne:
Un plan peut être décrit par son vecteur normal. Je ne sais pas si tu sais ce que c'est. Par exemple, si ton plan c'est le sol, son vecteur normal est le vecteur vertical (celui qui "sort" du plan). Pour trouver le vecteur normal, tu fais un produit vectoriel de tes 2 vecteurs que tu connais. Appelons p ton vecteur normal, alors:
p = BA x CA (où le signe x veut dire produit vectoriel)
Donc:
p = (2;0;2) x (0;2;2) = (-4;-4;4) = -4(1;1;-1)
Ton plan est donc donné par l'équation:
1*x + 1*y -1*z + d = 0 (où d est un nombre réel à déterminer)
Comment déterminer d?
Tu sais que tes points A, B, C sont dans le plan, donc il faut que l'équation marche pour ces points, donc par exemple avec le point B:
1*2 + 1*0 -1*2 + d = 0 donc d=0
Au final, l'équation cartésienne de ton plan est:
x+y-z = 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[parousky]

Dans la méthode cartésienne, je n'ais pas compris pourquoi tu a factorisé par 4 les coordonnées.

[Universus]

Parce que si on a un vecteur normal à une surface (par exemple le vecteur (-4,-4,4)), alors ce vecteur multiplié par n'importe quel nombre réel différent de 0 donnera un vecteur parallèle au premier, donc lui aussi perpendiculaire (normal) à la surface. Il est un peu plus simple d'utiliser le vecteur (1,1,-1) que (-4,-4,4) pour les calculs qui suivent.

Edit : pour les calculs qui suivent, changer de vecteur normal ne fait que modifier la valeur de la constante d d'un même multiple, donc la démarche fonctionne aussi bien

[parousky]

d'accord la j'ais très bien compris, merci beaucoup.

[parousky]

ah non au fait il y a un truc que je n'ais pas compris, dans la méthode cartésienne, ao moment d'appliquer numériquement le produit vectoriel, on a (0.2.2) * (2.0.2), et tu trouves (-4.-4.4) !
pourtant 0*2 = 0 ; donc on devrait avoir (0.0.4), je ne comprends pas.

[fiatlux]

Ce n'est pas comme ça que fonctionne le produit vectoriel. Le produit vectoriel entre un vecteur (a;b;c) et un vecteur (d;e;f) est donné par:
(a;b;c) x (d;e;f) = (bf-ce ; cd-af ; ae-bd)

Ou aussi: http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel sous "calcul en composantes"

[lawliet yagami]

@fiatlux
c'est pas ce qu'on nous apprend au lycée, à moins que ce soit une généralisation ou je-ne-sais-quoi:
au lycée on doit multiplier les deux vecteurs et avec le vecteur normal et résoudre le système (voir post 18 http://forums.futura-sciences.com/ma...a-retenir.html).

[cleanmen]

Si tu veux creuser la question (c'est au programme de MPSI je crois ...), cherches du côté du déterminant de trois vecteurs. C'est surement la méthode la plus rapide...

[fiatlux]

@fiatlux
c'est pas ce qu'on nous apprend au lycée, à moins que ce soit une généralisation ou je-ne-sais-quoi:
au lycée on doit multiplier les deux vecteurs et avec le vecteur normal et résoudre le système (voir post 18 http://forums.futura-sciences.com/ma...a-retenir.html).

Ah bon désolé, moi c'est ça que j'ai appris (mais je suis suisse, donc j'ai pas forcément exactement le même programme que vous). J'ai regardé la méthode que vous utilisé (avec les produits scalaires) et personnellement je la trouve longue et fastidieuse
Donc je ne sais pas si vous avez le droit d'utiliser des méthodes "hors programme" mais franchement le produit vectoriel facilite énormément les choses... Le calcul se fait en moins de 10 secondes.

[invitedb2255b0]

Pour trouvé le vecteur normal on peut aussi dire que :
Soit M(x;y;z) un points du plan.
AM est vecteurs normal à (ABC) ca implique que:
AM.AC = 0
2y + 2z = 0

et ca implique également que:
AM.AB = 0
2x+2z=0

et également que:
AM.BC = 0 avec BC(-2;2;0)
-2x+2y =0

Tu obtient le systeme suivant:
2y+2z=0
2x+2z=0
-2x+2y=0

Ce qui donne:
z=-y
z=-x
y=x
donc:
x=1
y=1
z=-1

tu sais apres que l'équation du plan est de la forme:
ax+by+cz+d=0 avec n(a;b;c) vecteur normal du plan.
Donc le plan est de la forme:
x+y-z+d=0
or A(0;0;0) appartient au plan, donc
d=0
Ton plan a donc pour équation x+y-z=0

[parousky]

Il ya un truc que je ne comprends pas, tu me dis que M fait partie du plan (ABC). Donc les points M, A, B et C font partie du plan, alors comment AM peut être un vecteur normal à (ABC) ?

[parousky]

En essayant d'appliquer la méthode cartésienne avec d'autres points, je me rends compte que les résultats ne sont pas les mêmes. Le plan considéré passe également par les points A'(0.0.0), B'(0.3.0) et
C'(3.0.0). Et là je trouve comme équation 0x + 0y + 0z +d = 0, avec d =0. C'est pas normal ça, au secours !

[Universus]

Dans l'équation de plan ax+by+cz+d = 0, (a,b,c) est un vecteur normal au plan et d est une constante implicitement reliée au vecteur normal de coordonnées (a,b,c). Il existe une infinité de vecteurs normaux, mais en changeant de vecteur normal on change le d aussi de telle sorte que le reste demeure équivalent. Mais un plan d'équation 0x+0y+0z = 0 implique un vecteur normal (0,0,0), ce qui est un point plus qu'un vecteur... bref, une telle équation est impossible.

[invitedb2255b0]

Il ya un truc que je ne comprends pas, tu me dis que M fait partie du plan (ABC). Donc les points M, A, B et C font partie du plan, alors comment AM peut être un vecteur normal à (ABC) ?

C'est une erreur, M est un points quelconque de l'espace qui n'appartient pas au plan justement . (Sinon le vecteur normal serais nul ...)

Attention quand tu parles de Surface. Dans ton cas tu parle d'un plan. Une surface n'est pas forcement plane (exemple: Parraboloïde/Hyperboloïde/Surface générique quelconque de la forme z=f(x;y)

[parousky]

Je ne voudrais pas vous fatiguer, mais que trouveriez-vous comme équation du plan avec les trois points que je vous ais cité juste avant ?

[invitedb2255b0]

Je ne voudrais pas vous fatiguer, mais que trouveriez-vous comme équation du plan avec les trois points que je vous ais cité juste avant ?

Comme dit plus haut, moi je trouve:
x+y-z=0

[parousky]

Tu trouves quoi pour les cordonnées du vecteur normal ?

[invitedb2255b0]

Bah (1;1;-1), regarde mon post là haut, sans tenir compte du fait que j'ai dit que M appartenait au plan

[parousky]

Et un plan qui passerait par les points A(3.3.3) ; B(4.4.4) et
C(5.5.5), je trouve encore 0x + 0y + 0z = 0
ça m'énerve !

[sylvainc2]

Et un plan qui passerait par les points A(3.3.3) ; B(4.4.4) et
C(5.5.5), je trouve encore 0x + 0y + 0z = 0
ça m'énerve !

C'est parce que ces 3 points sont colinéaires! Ils définissent une infinité de plans.

Pour définir un plan unique en 3D tu as besoin de 3 points non colinéaires.

Maintenant, pour répondre à ta question originale, tu substitues les 3 points dans l'équation ax+by+cz+d=0. Ca te donne 3 équations à 3 inconnues et tu résouds.
Le point A(0;0;0) fait que d=0, ensuite il te reste 2 équations:
2a+2c=0
2b+2c=0
donc une solution est a=1,b=1,c=-1 ce qui donne x+y-z=0. Tu n'as pas besoin de passer par le vecteur normal (quoiqu. en fait, c'est équivalent).

[parousky]

d'accord, merci beaucoup.

[Universus]

Ça c'est normal. Tes points A,B et C peuvent être vus comme des vecteurs OA, OB et OC avec O = (0,0,0). Tu te rends compte que chacun de ces vecteurs sont colinéaires (parallèles), donc en voulant faire le produit vectoriel entre deux de ces vecteurs afin de suivre la procédure qui t'a été mentionnée dans la méthode cartésienne et espérer obtenir un vecteur normal à ton plan, tu obtiens plutôt un point (un vecteur nul).

Un vecteur nul ne pointe pas davantage dans une direction que dans une autre et n'est donc pas un ''bon vecteur normal'' (il n'est pas plus normal que au plan qu'élément du plan, ni moins). Rappelle-toi que le produit vectoriel entre deux vecteurs donne un nouveau vecteur :
- soit de norme nulle si les deux vecteurs multipliés sont parallèles
- ou perpendiculaire aux deux vecteurs multipliés et de norme égale à la formule qui a déjà été mentionnée si les deux vecteurs multipliés ne sont pas parallèles.

Ainsi, pour trouver un vecteur normal intéressant, tu ne peux utiliser des vecteurs parallèles.

EDIT : Trop tard ^^

[invitecaefb4ee]

il s'agit d'un plan passant par l'origine. Je connaît trois points A B et C tel que A(0.0.0) ; B(2.0.2) et C(0.2.2). Je sais que le plan passe par ces trois points et je dois trouver l'équation du plan.

quand tu as trois points, tu verifies déjà qu'ils ne sont pas alignés, ainsi tu es certain qu'ils definissent un unique plan.( cela dit en terminale on ne te posera pas de piège...!)
Puis comme on te l'a dit plus haut, tu dois savoir qu'une equation de plan est de la forme ax+by+cz+d=0. tu mets tes trois points dans l' équation, tu trouves un syst de trois équations à quatre inconnues, que tu résous en fonction de d. à la fin, tu choisis une valeur pour d, et tu as alors des valeurs pour a,b,c.

l'autre méthode qui consiste à trouver un vecteur normal au plan, t'amènes aussi à résoudre un système comme tu l'as dit toi même.

ps : à la lecture des nombreuses réponses faites, que d'approximation de vocabulaire!

[Seirios]

quand tu as trois points, tu verifies déjà qu'ils ne sont pas alignés, ainsi tu es certain qu'ils definissent un unique plan.( cela dit en terminale on ne te posera pas de piège...!)
Puis comme on te l'a dit plus haut, tu dois savoir qu'une equation de plan est de la forme ax+by+cz+d=0. tu mets tes trois points dans l' équation, tu trouves un syst de trois équations à quatre inconnues, que tu résous en fonction de d. à la fin, tu choisis une valeur pour d, et tu as alors des valeurs pour a,b,c.

Cela dit, la résolution du système d'équations pourraient être simplifié en choisissant d'abord une valeur pour d (à condition de savoir si le plan passe ou par l'origine).