Convention écriture intervalles [] ou ][

[invite45a4e22b]

Salut,

Je me pose une question dans le cadre de l'étude relative aux limites des fonctions. Par définition, on dit par exemple qu'une fonction a une limite finie en un réel si :
(on pose la fonction sur à valeurs dans , le réel et un élément de )
Pour tout , il existe tel que pour tout de et on a appartient à

Ne peut-t-on pas écrire la même chose en prenant des intervalles centrés et fermés? Ça risque d'en faire bondir certains vu que je n'ai jamais, jamais croisé cette écriture (il doit donc y avoir quelque chose), mais j'aimerais bien comprendre ce qui en est à l'origine.

Merci pour vos réponses (j'espère que vous n'êtes pas tous partis en vacances )

ps:Pour que vous puissiez utiliser des notions et concepts qui me sont connus, je viens de finir ma terminale S.
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[Seirios]

Bonjour,

Lorsque notre professeur nous a donné cette définition de la limite d'une fonction, je lui ai posé la question, puisque la définition me paraissait tout aussi valide avec des intervalles fermés ; il m'a répondu qu'une telle définition serait également valable, mais que les intervalles ouverts permettaient une démonstration par l'absurde de l'unicité de la limite, qu'il nous a d'ailleurs donnée tout de suite après. Donc ce n'est qu'une question de commodité.

[Thorin]

On peut montrer que si f admet une limite avec la première définition, elle admet une limite avec la deuxième, et la réciproque est vrai.
autrement dit, on choisit les définitions comme on veut.

PS: l'unicité de la limite peut très bien se faire avec des intervalles fermés aussi, de manière aussi simple.

[invite45a4e22b]

Ok, merci pour les réponses.

Les 2 sont valables et ce n'est pas une aberration que de l'écrire avec un intervalle fermé, mais cette manie que l'on a de toujours ouvrir n'est d'après toi pas fondée Thorin? Ce que disait Phys2 concernant l'unicité me paraissait convainquant mais tu ne sembles pas être d'accord...

ps: je me rends compte en écrivant que l'on peut montrer l'unicité dans les deux cas par l'absurde exactement de la même façon, je me trompe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

en gros, quand on démontre l'unicité de la limite, on le fait par l'absurde.
Pour ça, si les intervalles sont ouverts, on pourra faire intervenir un , et si les intervalles sont fermés, ce ne sera plus suffisants, il faudra prendre un pour assurer que les intervalles sont disjoints.
Mais ce détail mis à part c'est la même chose.

mais cette manie que l'on a de toujours ouvrir n'est d'après toi pas fondée Thorin?

Ce n'est qu'une question de commodité dans un raisonnement. Parfois ca nous facilite la vie d'avoir du fermé, parfois ca nous facilite la vie d'avoir du fermé.
De toute façon, moi, dans l'unicité de la limite, je prends des intervalles ouverts par habitudes, mais je prends quand même epsilon/3 pour être sur d'avoir bon et de ne pas avoir à me casser la tête

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

à mon avis, il faut regarder du côté de la définition de limite dans un espace topologique général, définition qui se formule aisément en termes d'ouverts.

A voir.

[invite45a4e22b]

Très bien, en gros autant rester ouvert tant que le fermé n'est pas nécessaire

Merci pour votre aide.

ps: à Romain, je ne veux pas que tu ais l'impression que j'ignore ton message mais j'ai brièvement regardé sur Wikipédia ce qu'est un espace topologique général et je pense m'embrouiller plus qu'autre chose en cherchant à comprendre...(peut-être l'année prochaine l'abordera-t-on en MPSI) néanmoins je te remercie.

[Romain-des-Bois]

Je reformule mon idée alors : peut-être formule-t-on la définition de limite dans (muni de la distance canonique) avec des ouverts car dans des espaces beaucoup plus généraux, on définit la limite avec des ouverts.

On avait fait un tout petit peu de topologie en sup, mais je n'en ai fait vraiment qu'en troisième année de licence. En spé, on voit essentiellement les espaces normés qui sont un cas particulier d'espaces métriques qui sont un cas particulier d'espaces topologiques.

Si cela intéresse des gens, je peux proposer des exercices d'introduction à la topologie des espaces métriques.

[invite45a4e22b]

Je pense cette fois avoir saisi l'idée générale.

Quels sont les "pré-requis" pour pouvoir aborder les exercices dont tu parles? Si je suis en mesure de la comprendre, alors je suis intéressé par ton introduction.

Merci par avance.

[Romain-des-Bois]

Pour définir un espace métrique et faire quelques exercices, le niveau TS suffit largement

J'ouvrirai un fil avec quelques propositions.

[Romain-des-Bois]

C'est fait

[invite45a4e22b]

J'ai commencé à regarder, je bloque mais je vais te poster ce que j'ai fait...