Pourquoi 9,99...=10

[invite71c59579]

Oui je me demandais d'où ça venait. Je sais que tout le monde connait le coup du :
x = 9,9999...
10x = 99,999...
9x= 90
x = 10

Donc voila je me demandais d'où viens l'erreur parce qu'il y a forcement une erreur... Si quelqu'un peu m'éclairer
-----

[invite97a92052]

Il n'y a pas d'erreur : il n'y a aucun réel qui s'intercale entre 9,9999.... et 10, donc 9,9999... = 10

[invite71c59579]

Ouais mais je sais pas je trouve pas ça très logique parce que aussi pret que les 2 réels peuvent être, ce ne sont pas les même! Parce que en dans c'est cas la tout les réels sont les mêmes enfin je me comprend mais je sais pas je trouve pas ça super logique ^^

[invite3bc31a43]

ca vient seulement de tes ... , ca veut rien dire si ce n'est que tu exprime par ton "=" , la valeur de la limite de ton terme a gauche , à l'infini . un terme infini ne peut etre egal a un terme fini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

Non, tous les réels ne sont pas les mêmes pour autant, seulement si tu soustrais 9,9999... à 10, tu vas trouver 0,00000... (une infinité de 0), soit 0

Entre 2 réels différents, il y a une infinité de réels, et ce n'est pas le cas ici.

Le problème, c'est que la notion d'infni n'est pas toujours très évidente

Autre preuve, calcule 3 * 10 * (1/3)
1/3 = 0,3333...
10 * 1/3 = 3,3333...
3 * 10 * 1/3 = 9,9999...

Or, 3 * 10 * 1/3 = 10*1 = 10

Il y a déjà eu plusieurs discussions sur le sujet

[erik]

Lis la discussion : http://forums.futura-sciences.com/sh...ight=0%2C99999

[invite71c59579]

autant pour moi je vais lire l'autre ^^

[invite9c9b9968]

[Mode je cherche la petite bête]

il me semble que l'on écrit plutôt "au temps pour moi"

[Fin Mode je cherche la petite bête]

sinon, pour en revenir au sujet initial, il faut quand même savoir que la "démonstration" proposée n'est pas très rigoureuse, le mieux est de comprendre la notion de limite puis ensuite de développement décimal (propre et impropre) d'un rationnel

@+

julien

[wizz]

[Mode je cherche la petite bête]

il me semble que l'on écrit plutôt "au temps pour moi"

[Fin Mode je cherche la petite bête]

julien

demande à ton prof de français que tu avais au lycée ou collège.

il me semble plutôt "autant pour moi"

[invitec314d025]

demande à ton prof de français que tu avais au lycée ou collège.

il me semble plutôt "autant pour moi"

Je crois que les deux sont acceptées, mais la formule d'origine est bien "au temps pour moi".
Je crois aussi que ce n'est pas le bon forum pour en débattre.

[invite9c9b9968]

désolé matthias, je ne voulais pas que ça dérape

c'est fini je ne chercherais plus la petite bête

[invite71c59579]

Non il a raison c'est au temps pour moi j'en suis sur et certains mais bon je l'avais oublier. On dit autant pour moi quand il y a une quantité. C'est véridique vous pouvez vérifié

Oula on dérive on dérive (petit jeu de mot en passant).

Apres mais c'est vrai que ça tend vers 10 mais c'est comme un nombre qui tend vers l'infini il ne l'atteint jamais vraiment enfin...

[invite97a92052]

Ce n'est pas très évident la notion d'infini

Il te semble choquant de dire que ça atteint 10, mais n'oublie pas que l'infini est... infini justement, ce n'est pas quelque chose de "réel" à nos yeux.

En effet, en toute logique, on n'atteint jamais 10.
Mais en l'infini, on l'atteint, mais dire ça c'est un peu bête, parce que l'infini on ne l'atteint pas justement. Tu peux passer toute ta vie à écrire des 9 après la virgule, tu n'atteindras jamais 10 en effet. En mathématiques il exste cette notion d'infini qui te dit : avec une infinité de 9 après la virgule, ça vaut strictement 10.

Autre chose, regarde le nombre de Neper, e (2.71828...), il est impossible d'écrire toute ses décimales (c'est un nombre irrationnel), pourtant, il existe, et sa valeur exacte, c'est la somme (pour n allant de 0 à +l'infini justement) de 1/(n!). Ceci vaut strictement e, et pas quelque chose d'autre un peu moins grand que e. C'est la même chose pour 9,9999.... et 10

Il me semble qu'en maths il existe même des ensembles comme IR U +inf (IR union +l'infini).

Pour le "au temps/autant", voir ceci : http://www.academie-francaise.fr/lan....html#au_temps

[invite71c59579]

Ok je crois que je commence à "admettre" l'idée. ^^

[invitedb5bdc8a]

Le "paradoxe" apparent que tu soulèves est du au fait que l'écriture décimale à laquelle nous sommes habitués n'est pas l'écriture adaptée aux nombres. C'est une écriture adaptée aux nombre décimaux, mais même pas aux rationnels. La meilleure manière d'écrire un tiers est 1/3, ce n'est pas 0.33333.... que de toutes façons on ne peut pas écrire, on de peut que décrire. Alors autant utiliser un descriptif clair.
Ensuite un nombre peut s'écrire d'une infinité de manière. Il n'y en a pas une plus "juste" que les autres.
parfois plus simple c'est tout.
Les réels sont définis comme des limites de suites de rationnels et c'est là leur écriture la plus simple.
Si le nombre réel que tu veux décrire n'était pas périodique, tu n'arriverais tout simplement pas à l'écrire en notation décimale.

[invite4b9cdbca]

Je pense que la plus simpl explication serait de dire que 0.9999999... est une limite (on n'a pas de valeur exacte pour ecrire ça).

0.9999999... est la limite de par exemple 1-(0.1)^x quand x tend vers l'infini... Là on aura la limite égale à 1, rigoureusement, avec une grosse calto tu trouveras du style 0.99999999.... avec d'autant plus de neuf que x sera grand.

[invite33028e34]

wow! ça l'a vraiment l'air de te pertuber le 9.999...=10
Je n'ai lu tous les commentaires(disons qu'il y en a bcp!)mais t'en qu'à moi,mon avis,c'est que tout ça n'est pas très logique! comment un chiffre infini pourrait égaler un chiffre du genre 10.Peu importe! C'est ce que j'en pense!

[invite0ad4995a]

Rigueur a l'extreme peut pousser a l'egarement donc pour perdre moins de temps on est moins rigoureux et on arrondit...

[invitec314d025]

Je n'ai lu tous les commentaires(disons qu'il y en a bcp!)mais t'en qu'à moi,mon avis,c'est que tout ça n'est pas très logique! comment un chiffre infini pourrait égaler un chiffre du genre 10.Peu importe! C'est ce que j'en pense!

Tu aurais peut-être mieux fait de lire tous les commentaires alors. C'est tout à fait logique et j'ai bien peur que les mathématiques ne soient un des rares domaines dans lequel l'avis personnel a bien peu d'importance. Et en passant, il n'y a pas de chiffre infini.

Rigueur a l'extreme peut pousser a l'egarement donc pour perdre moins de temps on est moins rigoureux et on arrondit...

Une limite n'est pas un arrondi. 9,9999.... est bien égal à 10.

[invitea77054e9]

wow! ça l'a vraiment l'air de te pertuber le 9.999...=10
Je n'ai lu tous les commentaires(disons qu'il y en a bcp!)mais t'en qu'à moi,mon avis,c'est que tout ça n'est pas très logique! comment un chiffre infini pourrait égaler un chiffre du genre 10.Peu importe! C'est ce que j'en pense!

Cette remarque a été faite de nombreuses fois, mais je la fais encore, car nécessaire:
Tu parles de chiffre infini, mais en fait tu melanges écriture et valeur du-dit chiffre.
Pour te fixer les idées, tu considères que 10 est fini, et pourtant 10=10,00000...
C'est juste une question de notation, mais de chiffre infini il n'est pas question ici.

Cordialement.

EDIT : Matthias m'a devancé .

[invitea77054e9]

Pour ce qui est démontrer que 9,9999...=10, il y a des démonstrations "un peu plus mathématiques" que celle proposée au début de ce post.

Par exemple, on considère la série de terme général 9/(10^n) .
Vu que 0<1/10<1, la série de terme général (1/10)^n converge vers 1/(1-1/10)=1/(9/10)=10/9.

On en déduit bien que la série de terme général 9/(10^n) converge vers 10.

Or, cette série n'est autre qu'une "réécriture" sous forme de somme de 9,9999...

[invite4793db90]

Rhâââ, on se fend à faire des FAQ pour... rien!!!

C'est ici.

[invitef591ed4b]

Je crois que dans n'importe quelle base de notation (je veux dire par ex. en base 10, base 2 etc.), chaque nombre a deux écritures possibles ...

En base 3 (triadique) par exemple, on a 0.1 = 0.1222...

[invitec314d025]

Je me permets de compatir à la détresse de martini_bird encore jeune, naïf et plein d'illusions.

[invitec314d025]

Je crois que dans n'importe quelle base de notation (je veux dire par ex. en base 10, base 2 etc.), chaque nombre a deux écritures possibles ...

En base 3 (triadique) par exemple, on a 0.1 = 0.1222...

Mais 0,11111...... n'a qu'une écriture ....

[invitef591ed4b]

Oui sorry, ce n'est pas chaque nombre qui a 2 écritures, mais des nombres précis (qui sont en nombre infini, en passant).

[invite4793db90]

Je me permets de compatir à la détresse de martini_bird encore jeune, naïf et plein d'illusions.

Mouais...

Si ce fil s'oriente vers les développements en base quelconque des nombres réels, je pourrais peut-être l'ajouter à la FAQ... et ça me consolerais.

Enfin bref,
merci matthias.

[invite4793db90]

Oui sorry, ce n'est pas chaque nombre qui a 2 écritures, mais des nombres précis (qui sont en nombre infini, en passant).

Question du soir: infini dénombrable ou non-dénombrable?

[invitef591ed4b]

À priori, je dirais dénombrable ... je pense qu'il y a moyen d'exprimer le nombre d'éléments ayant 2 notations correspondant à chaque "décimale".

(Après un gribouillis sur brouillon et en désignant par "2-nombre" un nombre possédant 2 notations : )

En développant ]0,1[ en base M, les 2-nombres apparaissent à partir de la 2e décimale (càd M^-2). Ils y sont toujours au nombre de M-1. En désignant par X₀ le nombre de 2-nombres à la décimale M^-2 et par X_n le nombre de 2-nombres à la décimale M^-(2+n), on a la récurrence : X_n = 2X_n-1+2 avec X₀=M-1. On peut ainsi numéroter naturellement tous les 2-nombres et affirmer qu'ils sont en nombre infini dénombrable Et comme ]0,1[ est isomorphe à lR, ben c'est aussi dénombrable pour les 2-nombres de lR (argument avec les mains, ça ).

[invitef591ed4b]

Haha 2 sec.

Bon j'avait fait le schéma pr M=3 et j'ai parlé trop vite : la récurrence est bonne pr M=3, mais pas les autres.

Mais en tt cas, y a sûrement une récurrence pour tout M (que je vais essayer de trouver) et c'est infini dénombrable.