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raisonnement par récurrence



  1. #1
    topcase

    raisonnement par récurrence


    ------

    Bonjour
    Je n'arrive pas à montre par un raisonnement par récurrence que pour n<0 ln xn= nlnx , pourriez vous m'aider s'il vous plait?

    Voila ce que j'ai fais:

    Etape 1 Pour n<0 ln 10 =0ln1 vraie?
    0 =0 donc vraie

    Etape 2 Soit k un entier arbitrairement choisi on suppose que pour k<0 ln xk= klnx montrons que pour k+1<0 ln xk+1= k+1 lnx

    On pose: ln xk= klnx
    ln xk+1= klnx +1
    Je trouve que je n'ai pas démoontrer quoi que ce soit..
    Merci de votre attention

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : raisonnement par récurrence

    Bonjour,

    Une première erreur : si k est négatif, alors vous devez démontrer que (ln(xk) = k.ln(x)) entraîne (ln(xk-1) = (k-1).ln(x)).

    Sinon pour la démonstration, il suffit de remarquer que xk-1 = xk/x
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    topcase

    Re : raisonnement par récurrence

    Ah mais oui il fallait que je prenne le rang précèdent c'est vrai!

    J'ai oublié de préciser qu'on me donnait sa comme aide :il faut partir de ln 1/x= -ln x
    Pour n=-1, 1/x= x-1
    n=-2, ln 1/x²= ln(1/x * 1/x)= ln(1/x) +ln(1/x)= -ln x -lnx= -2lnx



    Donc voila ce que j'ai apres modification:

    On suppose que ln 1/xk= -(ln 1/x)k montrons que 1/xk-1= -(ln 1/x)(k-1)

    on pose: ln 1/xk= -(ln 1/x)k
    ln 1/xk-1= -(ln 1/x)(k-1)
    -ln xk-1= -(ln x)(k-1)


    Comment introduire votre remarque: xk-1= xk/x

    Ce que j'ai fais est correct?

  5. #4
    Médiat

    Re : raisonnement par récurrence

    Bonjour,

    Si vous voulez faire une récurrence, il vous faut choisir de travailler soit avec xk avec k <0, et le "suivant" est xk-1, soit avec 1/xk, avec k positif, et dans ce cas, le "suivant" est 1/xk+1. SI vous mélangez les deux, cela ne marchera pas.

    Mon indice ne concernait que la première façon de faire (pour la deuxième, il faut faire une légère modification).

    Il y a aussi une méthode sans récurrence si vous avez le droit d'utiliser que ln(xn) = n ln(x), pour n positif.
    En écrivant que xn (avec n négatif) peut s'écrire 1/x-n ou même (1/x)-n, où, (-n) est positif.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    topcase

    Re : raisonnement par récurrence

    Du coup ce que je fais dans mon dernier post est faux c'est sa?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    topcase

    Re : raisonnement par récurrence

    Je veux
    travailler soit avec xk avec k <0, et le "suivant" est xk-1
    comme vous avez ecrit

  9. Publicité
  10. #7
    Médiat

    Re : raisonnement par récurrence

    Il ne vous reste plus qu'à écrire que xk-1 = xk/x, et appliquer les règles que vous connaissez sur le logarithme et l'hypothèse de récurrence.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    topcase

    Re : raisonnement par récurrence

    J'ai fait ceci je comprends ce que vous me dites mais je suis perdu --'

    xk-1= xk/x
    ln xk-1= ln xk/x
    ln- 1/(k-1)(lnx) = k lnx -lnx
    ln k-1 -(lnx)= k lnx - lnx
    ln(k-1)=k ln x

    Je sais pas si sa sert à quelque chose

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