divisibilité d'un produit

[inviteb7268b6b]

Bonjour !
J'ai un petit problème avec une question :
Soit et deux entiers relatifs et un nombre premier supérieur ou égal à 3,

je lis que : si et seulement si est un multiple de ou est un multiple de .

Pourquoi "ou" et pas "et" ? En effet si est un multiple de alors il peut s'écrire et idem pour :
Donc si les deux sont divisibles par on a : et est donc bien divisible par . Je ne vois pas où ça coince... Merci pour votre aide !
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[invite93e0873f]

C'est parce que le 'ou' est une condition plus faible et permissive que le 'et'. Tu te rends compte que si, disons, x (le raisonnement tient similairement pour y) vaut pq, et y est un autre entier, alors . Le 'et' n'est pas nécessairement. Évidemment que si x et y sont multiples de p, alors la condition fonctionne aussi, vu qu'un des deux au moins est multiple de p. Ce qui te satisferait le plus, je crois, serait qu'il ait été écrit 'et/ou', mais il faut comprendre le 'ou' comme 'au moins l'un des d'eux. Néanmoins, il est vrai que le si et seulement si peut prêter à confusion dépendant de comment on l'entend. Tu dois comprendre ça comme étant que si xy est multiple de p, alors au moins l'un des deux est multiple de p (tu sais déjà établir que si l'un des deux est multiple de p, alors leur produit l'est).

Remarque aussi que si x et y sont deux entiers et qu'au moins l'un d'eux est multiple d'un autre entier d (pas nécessairement premier), alors leur produit l'est aussi.

[inviteb7268b6b]

Oui bien sûr, dans mon message au lieu de "et" j'aurai du mettre "et/ou" .
Le problème était que je pensais qu'il s'agissait dans l'énoncé d'un "ou" exclusif (à cause du si et seulement si et parce que dans le corrigé est mis en gras "x ou y sont des multiples de p"). Mais je suppose que j'avais mal compris... Merci en tout cas !

[invitedb2255b0]

En algèbre l'opérateur OU est inclusif.
Soit A et B deux propositions.
A OU B est vrai si l'une au moins des propositions est vrai. Donc soit A est vrai, soit B est vrai, soit les 2.

A l'inverse A ET B est vrai si les deux proposition sont simultanément vraies.

Dans ton cas, la propriété est vrai si p divise x, si p divise y ou encore si p divise les deux. On utilise donc l'opérateur OU.

Si tu met ET, ca implique que la propriété n'est vrai que si p divise x et y simultanément, et dans aucun autres cas.

Le Si et SEULEMENT si n'as rien d'exclusif. Si et seulement si, veux simplement dire que les deux proposition sont des condition nécessaire et suffisante l'une pour l'autre. On parle d'equivalence.
A l'inverse de l'implication qui se traduirais par "Si" ou "Alors" ou "Donc".

Lorsque l'on démontre que la réciproque d'une implication est vrai, on démontre l'equivalence =). Et il est souvent nécessaire de passer par cette étape, car il n'est pas toujours possible de raisonner avec des équivalence.

[A voir en vidéo sur Futura]