Bonjour , je voudrai une explication sur un exercice de spé maths ( term S ) :
Démontrer que 237^(1251) - 3 est divisible par 5
j'ai le corrigé mais il y a certaines choses que je ne comprend pas, voici le début :
237 = 5 x 47 + 2
On obtient donc 237 = 2 [5]
Ainsi 237^(1251) - 3 = 2^(1251) - 3[5]
Je ne comprend pas l'égalité de cette derniere ligne..
Merci d'avance
Bonjour,
Ce n'est pas une égalité mais une congruence :trois traits pas deux!
sur la ligne précédente aussi, en effet le reste de la division de 237 par 5 c'est deux !
JR
l'électronique c'est pas du vaudou!
Ah oui... ( dsl je viens de commencer le chapitre) mais je ne comprend toujours pas comment on arrive a cette dernière ligne..:/
Des propriété fabuleuse existe sur les congruence.
Pour commencer, il faut bien cerner la définition de la congruence: a et congru à b modulo n si a et b on le même reste dans la division euclidienne par n.
On note a=b[n] (avec 3 barre sur le signe égale).
Si b<n, alors b est le reste de la division euclidienne de a par n.
Mais par exemple on a bien 27=97[2] pourtant 97 n'est certainement pas le reste de la DE de 27 par 2.
Soit, à partir de là il existe de fabuleuse propriété facilement démontrable:
entre autre:
si a=b[n] alors a^p=b^p[n]
si a=b[n] alors a-c=b-c[n]
Dans ton cas, on a bien 237=2[5]
donc 237^1251=2^1251[5]
et 237^1251-3=2^1251-3[5]
Pour l'exercice, moi je me serais arrêter à 237^1251=2^1251[5]
or 1251= 2*625+1
donc 237^1251=2^(2*625+1)[5]
donc 237^1251=4^265*2[5]
or 4=-1[5] donc 4^265=-1^265[5] donc 4^265=-1[5] et donc 4^265*2=-2[3]
donc 237^1251=-2[5] i.e. 237^1251=3[5]
et ainsi 237^1251-3=3-3=0[5]
Ah merci beaucoup !! j'ai compris =)
