Spé Maths : divisibilité et congruence

[invitef1a62b17]

Bonjour à tous !!

Voilà, mon 1er problème se résume en une phrase :

Déterminez tous les entiers n tels que n²-3n+6 est divisible par 5.

Alors, j'ai pensé à faire :

n²-3n (congru) -6 [5]

Donc n²-3n (congru) -1 [5]

Donc n²-3n+1 (congru) 0 [5]

Donc (n-1)²-n (congru) 0 [5]

Et c'est là que je bloque (et je ne suis même pas sûr si j'ai bien fait d'en arriver là)

Mon 2^ème problème est :

Vérifiez que 7 divise :

2⁶-1 ; 3⁶-1 ; 4⁶-1 ; 5⁶-1.

Donc j'ai pensé à faire :

2⁶ (congru) 1⁶ [7]

Donc 2⁶ (congru) 1 [7]

Ou alors, je serais tenté de calculer 2⁶ = 64
64-1 = 63
Ensuite 63/7=9, 9 appartient à Z.

Mais je ne suis pas sûr que la 2ème méthode soit attendue, et je bloque pour finir la première.

La 2ème question du 2ème problème est :

n est un entier et S(n)=2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ.

Montrez que S_n+6-s_n est divisible par 7.

Je pense qu'il faut remplacer 2ⁿ⁺⁶ par 2ⁿ*2⁶ et les autres termes en suivant ce modèle.
Donc S_n+6-S_n=2⁶+3⁶+4⁶+5⁶.

Mais après, je ne vois pas comment 7 peut diviser 2⁶+3⁶+4⁶+5⁶.

3ème question :

n est un entier et r son reste dans la division euclidienne par 6. Démontrez que S_n (congru) S_r [7]

Bon, je pense qu'il faut faire S_n-S_r (congru) 0 [7].

Or n+r est divisible par 7. Donc S_n-S_r est divisible par 7.

4ème question :
Trouvez les valeurs de n pour lesquelles S_n est divisible par 7.

Là, je vois pas comment il faut procéder ... Par récurrence peut-être ?

5ème et dernière question :
On pose T_n=100ⁿ+101ⁿ+102ⁿ+103ⁿ.

Démontrez que S_n (congru) T_n [7]
Déduisez-en les valeurs de n pour lesquelles T_n est divisible par 7.

Là, je pense qu'il faut faire S_n-T_n (congru) 0 [7], mais je ne sais pas comment poursuivre par cette voie.

Pour les valeurs de n, il suffit de dire que ce sont les mêmes que pour S_n, non ?



Voilà, désolé de vous embêter, mais si vous n'arrivez pas à me donner une ou plusieurs pistes, ce n'est pas grave, même si ça m'aiderait

Bien à vous ...
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[invite9a322bed]

Bonsoir, ton post est assez long, je n'ai le temps de répondre qu'a tes deux premiers problemes, je suis en termS spé maths aussi, et je n'ai pas encore étudier les congruences, mais j'ai fais avec mes connaissance en divisibilités

Pour le premier pourquoi ne pas proceder par disjonction ?
càd, tu remplace dans chaque cas pas 5k , 5K+1; +2 +3 +4 , après tu trouves la réponse et tu dis par exemple (ce n'est pas la réponse j'ai pas fais les calculs ) Pour n = 5K + ? , on a n² - 3n + 6 divisible par 5 ^^

Pour le deuxieme je vais te donner la solution de la première :
Déja tu connais que a puissance n moins b puissance n = a moins b facteur de machin , [ tu trouves cette égalité partout chercher sur wikipédia] ; puis voila tu a 2^6 = (2^3)^2

D'ou 2^6 - 1 = (2^3)² - 1^3 = (2^3 - 1 )(.......) = 7(......)


Un conseil, quand tu bosses l'arithmétique n'essaye pas de te focaliser que sur les congruences, y a toujours des méthodes facile

[invitef1a62b17]

J'avoue que pour le 1er problème, je n'ai pas bien saisi le sens de cette phrase :

tu remplace dans chaque cas pas 5k , 5K+1; +2 +3 +4

C'est le mot "pas" m'intrigue, je pense que c'est une erreur de frappe, mais pourrait-tu mieux expliquer cette phrase ?

Ensuite, pour le 2ème problème. Je ne comprend pas pourquoi il ne vaut pas mieux faire :

2⁶-1 = (2³)² - (1³)² = (2³ -1) (2³+1)
Voilà, je crois que tout le reste, j'ai compris

[invitef1a62b17]

S'il vous plaît, une petite aide ne serait pas de trop, je vous laisse le temps de réfléchir, je ne dois pas rendre ce devoir demain, ça va, mais c'est juste que je vais pas réussir à dormir, je vais sans cesse réfléchir à ces problèmes. Donc, si j'ai une petite voie, je peux terminer de faire le plus gros morceau, comme ça, je dormirai tranquillement

voilà, mais je vous laisse faire, j'ai beau chercher, je ne suis pas vraiment inspiré ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Pour le deuxiemes exos, regarde cette page , la deuxieme égalité : http://nte-serveur.univ-lyon1.fr/imm...m#puissances_n

Je t'ai donné la formule pour toute puissance n, maintenant a toi de savoir comment jouer avec pour sortir ton diviseur a chaque fois


Sinon, pour le premier exo, effectivement je voulais écrire par ! Avez vous fais les disjonctions ?
tu as n²-3n+6 = 5K s'il est divisible par 5 biensur, or tout entier naturel relatif peut s'écrire sous la forme de 5k, 5k+1 ; +2 +3 +4 !
Donc tu remplaces a chaque fois et tu vérifies , je te fais la première :
soit n = 5k ; k € Z
(5K)² - 3 (5k) + 6 = 25k² - 15 k + 6 => Pas factorisable par 5, donc pour n = 5K notre expression n'est pas divisible par 5

Soit n = 5K + 1
on remplace on trouve que c'est pas divisible aussi, et tout les autres a pars pour n= 5K + 4 ou tu trouveras que c'est factorisable par 5

[invitef1a62b17]

Ok, merci bien, mais le lien me paraît confus, je m'y perds je l'avoue ...

Mais ce n'est pas grave, car j'ai réussi les deux premières questions de l'exo numéro 2.

Juste pour la 3è question, je dois dire que n-r est un multiple de 6, mais je ne vois pas comment faire pour la suite ....

P.S : et je ne sais plus si on a fait les disjonctions ...

[invite9a322bed]

Désolé je pourrais pas t'aider pour les autres vu que l'énoncé contient les congruences, et j'ai pas encore fait cela en spé, sinon les disjonctions, oui fallait le faire avant les congruences, j'ai deux livres de spé différents, les disjonctions c'est avec la division euclidienne !

[invitef1a62b17]

Ok, merci quand même pour ton aide précieuse, j'ai bien avancé , même si je bloque encore un peu pour le 2ème exo, mais je ne désespère pas xD

A+

[invitecb6f7658]

Salut, tu sembles en effet une peu perdu
Ce que tu avais entamé pour le deuxième exo était très bien pourtant tu n'arrives pas à conclure:
et simplement 1 \equiv 1 [7]
donc 2^6-1 \equiv 0 [7]

Pour 'tention...
^n+6n+6n+6n+6
Donc ^n+6n+6n+6n+6
Miracle tout est congru à dans les parenthèses...