factoriser polynome

[invite5944c81c]

Salut !

J'ai un problème en maths sur lequel j'ai bien galéré hier soir, mais je suis coincé à la première question, et j'ai beau réfléchir, je ne vois pas...

Voici l'énoncé en gros :
P(x) = A*x*x*x + B*x*x + C*x + D avec A, B, C, D réels
Soit a un réel
P factorisable par (x-a) si il éxiste un polynome Q tel que P(x)=(x-a)*Q(x)

Question : Il est clair que si P factorisable par (x-a), P(a)=0. Prouver la réciproque de cet énoncé.

Déjà j'ai éssayé de comprendre.
Si P factorisable par (x-a), on a alors P(x)=(x-a)*Q(x)
Donc P(a)=(a-a)*Q(x)
Donc P(a)=0*Q(x)
Donc P(a)=0

Il faut donc que je prouve à présent que si P(a)=0, alors P est factorisable. Je ne vois cependant pas du tout comment m'y prendre...

Pourriez-vous me mettre sur une piste ?
Merci d'avance !
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[bubulle_01]

Bonjour,

Essaye d'effectuer la division euclidienne de P par (X-a) et vois ce que tu peux en dire.

[invite5944c81c]

Je ne vois pas trop où tu veux en venir...

Tu veux dire que P(x)/(x-a) n'éxiste pas pour P(a) ?
Je ne vois pas trop là...

[bubulle_01]

Tu peux dire qu'il existe un polynome Q dont le degré est le degré de P moins un et un polynome R de degré inférieur à (X-a) tels que :
P=(X-a)Q+R

Vois ce que tu peux faire avec.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5944c81c]

Je sais qu'on dirait peut-être que je mets de la mauvaise volonté mais ce n'est pas du tout le cas...
(je viens de bosser près de 45mn avec ce que tu viens de me dire mais pas moyen d'approcher de la réponse. Je pars dans tous les sens sans savoir ou je vais ni pourquoi je fais ce que je fais...)

J'ai comprit P=(X-a)Q avec Q polynome de degré P moins 1 mais je ne vois pas d'où vient R...

Peux-tu encore éclaircir STP ?
En tout cas, merci de m'avoir déjà aidé jusque là !

[invitea3eb043e]

Ca s'appelle la division euclidienne parce que ça ressemble étrangement à la division de 2 nombres entiers avec reste, si tu n'as pas oublié.
Par exemple, prends le polynôme x² - 3x +4 à diviser par (x-2)
On pose la division comme s'il s'agissait de diviser 1327 par 15
Et on y va : en x², combien de fois x ? Il y va x fois, je retranche donc x(x-2), soit x² -2x, il reste -x et j'abaisse le 4
Et rebelote : en -x, combien de fois x ? Il y va -1 fois, donc je retranche-(-)(x-2) et il reste 2.
Et j'écris le résultat :
x² - 3 x + 4 = (x-2).(x-1) + 2
Finalement, de même que le reste de la division de 2 nombres est toujours strictement inférieur au diviseur, ici, le degré du reste est toujours strictement inférieur à celui du polynôme diviseur.
Ca répond à ton problème.