Exercice Barycentre TS

[invite67c1e838]

Bonjour,
Voila j'ai un gros problème pour le dernier exercice de mon Dm de math.

1) A et B sont deux points distincts du plan.
a) Construire le barycentre C de (a;2) et (B;3)
b) Construire le barycentre D de (A;3) et (B;2)
c) Démontrer que les segments [AB] et[CD] ont le même milieu.
d) Pour tout point M, exprimer 2MA + 3MB en fonction de MC.
e) Pour tout point M, exprimer 3MA + 2MB en fonction de MD.
f) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs 2MA+3MB et 3MA+2MB aient la même longueur ?

2) A et B sont deux points du plan tels que AB=4.
a) Construire le point E barycentre de (A;1) et (B;3)
b) Pour tout point M, exprimer MA+3MB en fonction de ME.
c) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que le vecteur MA+3MB ait pour longueur 12 ?

3) ABC est un triangle
a) Construire le barycentre G de (A;3) et (B;3).
b) Pour tout point M, exprimer MA+3MB en fonction de ME.
c) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs 3MA+5MB et BC soient colinéaires ?



Alors j'ai réussit a faire toute les construction sans aucun problème.
Ensuite les questions a vrai dire j'ai beaucoup de mal en géométrie donc si vous aviez des conseils.

Merci beaucoup
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[Jeanpaul]

Tu prends une origine n'importe où et tu écris le vecteur OC et le vecteur OD. Pas compliqué, c'est la formule du barycentre, il n'y en a qu'une !
Ensuite le vecteur OI où I est le milieu de AB et le vecteur OJ où J est le milieu de CD.

[invite67c1e838]

c)
Les barycentres C et D sont définis par les égalités (vectorielles)

2CA + 3CB = 0 (1)
3DA + 2DB = 0 (2)

Soit I le milieu de CD. On a ID = - IC, ou IA + AD = - (IB + BC).

Si I est aussi le milieu de AB, on aura IA = - IB. Pour cela, il faut que AD = - BC.

(1) peut s'écrire 2(CB + BA) + 3CB = 0, d'où CB = -(2/5)BA ou BC = -(2/5)AB.
(2) peut s'écrire 3DA + 2(DA + AB) = 0, d'où DA = -(2/5)AB ou AD = (2/5)AB.

On a bien AD = - BC.

d) 2MA+MB=0
2(MC+CA) +3(MC+CB)=0
5MD+3DA+2DB=0
MD= (-3DA-2DB) /5

e) MA+2MB=0
3(MD+DA)+2(MD+DB)=0
5MD+3DA+2DB=0
MD= (-3DA-2DB)/5


Ensuite la F je sèche un peu

[Jeanpaul]

Le c est juste mais en général, il n'est pas habile de prendre cette écriture du barycentre car cela revient à prendre l'origine au barycentre. Quand il y en a plusieurs, ça sème la confusion.
Il vaut mieux écrire : OC = (2 OA + 3 OB) / 5 en vecteurs évidemment.

Ensuite, il n'est pas vrai que 2 MA + 3 MB = 0 car cela n'est vrai qu'en C et M n'est pas en C.
Il vaut mieux prendre une origine O et écrire 2 MA + MB = 2 OA - 2 OM + 3 OA - 3 OM qui vaut 5 OC - 5 OM, soit 5 MC.
De même, l'autre expression vaut 5 MD.
Donc tu dois chercher les points M tels que MC et MD aient même longueur. Ca se fait ..

[A voir en vidéo sur Futura]