Les suites..Tle S

[theguitarist]

Bonjour a tous !!


voila je suis en Tle S et j'ai un DM a rendre pour mardi donc voilà ^^ en fait c'est sur les suites !

elle est définie par :

U(n+1) = racine(3Un+4)

U(0) = 0


en premier lieu il fallait démontrer que la suite est majorée par 4 , ce que jai fait avec une démonstration par récurrence ! jusque là...tout a bien

maintenant la question posée et de prouver que cette suite est croissante...et la c'est le drame je suis coincé ^^ ca se trouve c'est tout bête mais je vois pas...

Merci d'avance a tous ceux qui pourront m'aider !
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[invite8bc5b16d]

Salut,

pour montrer qu'une suite définie par récurrence est croissante, il y a deux méthodes :
montrer que Un+1 - Un > 0
montrer que Un+1/Un > 1 si Un > 0 pour tout n.

Ici, comme tu as une racine carrée dans l'expression, il va être plus simple d'utiliser la deuxième méthode !

edit : attention il va falloir ruser un tout petit peu car U(0) = 0

[theguitarist]

ha ok oui javais eu un premier exercice ou j'avais la première méthode:

U(n+1) - U(n) > 0

mais la deuxième méthode semble tout aussi bien !!

En revanche je n'arrive pas à isoler U(n)... sans qu'il y ait U(n+1) au final dans l'égalité ^^...

[invitefa784071]

tu as une relation de récurrence (u(n+1)= racine(3u(n)+4)) d'ou u(n+1)/u(n)=racine(3u(n)+4)/u(n) et tu cherche la limite en l'infini!!
Il ne te reste plus de u(n+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bc5b16d]

ha ok oui javais eu un premier exercice ou j'avais la première méthode:

U(n+1) - U(n) > 0

mais la deuxième méthode semble tout aussi bien !!

En revanche je n'arrive pas à isoler U(n)... sans qu'il y ait U(n+1) au final dans l'égalité ^^...

il faut que tu remplaces Un+1 par son expression en fonction de Un. Après pour t'aider à simplifier, tu peux utiliser le fait que Un = racine(Un²)

[invite8bc5b16d]

tu as une relation de récurrence (u(n+1)= racine(3u(n)+4)) d'ou u(n+1)/u(n)=racine(3u(n)+4)/u(n) et tu cherche la limite en l'infini!!
Il ne te reste plus de u(n+1)

euh...on ne cherche pas la limite en l'infini (qui serait d'ailleurs ici égale à 0 si Un->infini). On cherche juste à calculer le rapport (le minorer par un nombre supérieur à 1 suffit) pour tout n...

[theguitarist]

Qu'entend tu par minorer le rapport par un nombre superieur a un ?

[invite8bc5b16d]

Qu'entend tu par minorer le rapport par un nombre superieur a un ?

trouver un nombre m tel que Un+1/Un >(ou =) m > 1, ce qui implique forcément Un+1/Un > 1, sans avoir besoin de calculer la valeur exacte du rapport pour tout n.

[invitefa784071]

Par exemple (comme on devine que la limite de u(n+1)/u(n) tend vers 0 même si tu ne le remarque pas toi )
tu peut dire que u(n+1)/u(n)<=1/2 donc u(n+1)<=1/2 u(n)<u(n) donc ta suite est décroissante

[theguitarist]

le but est de prouver qu'elle est croissante ... lol ! ^^

:s

[invite8bc5b16d]

le but est de prouver qu'elle est croissante ... lol ! ^^

:s

oui car en fait Un+1/Un tend vers 1 (et je viens de faire le calcul tu trouves exactement par le calcul Un+1/Un >= 1, en partant de Un <= 4)

[invitefa784071]

Vu que j'ai pas fait les calculs je ne sait pas
Mais sinon tu fais une étude de fonction f(x)=racine (3x+4) et alors t montre qu'elle est croissante sur [0;+inf[ donc u(n+1)>=u(n)
Ensuite comme elle est croissnate et majorée, elle converge vers une limite l et tu résouts racine(3l+4)=l et tu obtients ta convergence voila!!

[invite8bc5b16d]

comme on devine que la limite de u(n+1)/u(n) tend vers 0 même si tu ne le remarque pas toi

généralement en maths quand on devine qqchose avant de le crier sur tous les toits on essaye de le montrer (à moins que ca soit du niveau des conjectures de poincaré )

Vu que j'ai pas fait les calculs je ne sait pas
Mais sinon tu fais une étude de fonction f(x)=racine (3x+4) et alors t montre qu'elle est croissante sur [0;+inf[ donc u(n+1)>=u(n)
Ensuite comme elle est croissnate et majorée, elle converge vers une limite l et tu résouts racine(3l+4)=l et tu obtients ta convergence voila!!

ou comment faire n'importe quoi...
si on avait Un = f(n), alors étudier f(x) marcherait...mais la on a Un+1 = f(Un), et du coup ta conclusion devient complètement fausse...
(contre exemple : Un+1 = (Un)², U₀ = 1/2 : sur R+ (il est évident que tous les termes sont positifs), f(x)=x² est croissante, mais Un = 1/2^(n+1) tend vers 0, donc difficile d'être croissante...)

après le reste, à savoir qu'une suite croissante majorée converge, ca c'est juste...