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Démonstration par récurrence



  1. #1
    Babouchka004

    Démonstration par récurrence

    Bonjour, Alors voila de je rame sur cet exercice de mon DM que je dois malheuresement rendre demain. Ne pouvant pas trop compter sur mes camarades, je vous demande votre aide. Merci d'avance.

    P est la fonction polynome défini sur R par: P(x)=(Xcube/3)-(xcarré/2)+(x/6)
    1-Calculer pour tout réel, P(x+1)-P(x).
    2-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, P(n) appartient à N.
    3-Démontrer que pour tout entier naturel n
    a) La somme des kcarré de 0 à n = (n(n+1)(2n+1))+6
    b) n(n+1)(2n+1) est un multiple de 6.

    je trouve

    P(x+1)= (2xcube+3xcarré+x)/6

    P(x+1)-P(x)= 3xcarré c'est juste?

    -----


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  3. #2
    Babouchka004

    Re : Démonstration par récurrence

    Ça y est j'ai retrouvé le x carré.

    Par contre comment démontrer que P(n) appartient à N?
    Je peut essayer de trouver P(n) supérieur à 0 mais ça n'en fera pas un entier naturel.

  4. #3
    Babouchka004

    Re : Démonstration par récurrence

    P(0)= 0 donc la proposition est vraie pour n=0

    P(n+1)-P(n)=x² ⇔ P(n+1)=x²+P(n)
    comme P(n) ∈ N et que x² ∈ N alors P(n+1) ∈ N

    mais x² appartient toujours à N?

  5. #4
    sender

    Re : Démonstration par récurrence

    en l'occurence tu travaille sur les entiers donc P(n+1)-P(n)=n^2 qui est un carré d'entier (et pas x^2 qui est juste un réel positif)

  6. #5
    hhh86

    Re : Démonstration par récurrence

    Moi c'est surtout l'écriture P(n+1)-P(n)=x² qui me choque !!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    burnttoast

    Re : Démonstration par récurrence

    Bonjour, j'ai à peu près le même exercice à faire.
    Cela dit je ne bloque pas sur la deuxième question mais plutôt sur la troisième qui est un peu différente...

    3) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n,
    1²+2²+...+n² =P(n+1) = [n(n+1)(2n+1)]/6
    j'ai fait l'initialisation et ma proprieté est vraie pour n=0
    j'ai aussi montré que 1²+2²+...+n²+(n+1)²=P(n+1+1) mais en remplaçant n par (n+1) dans la dernière partie de l'égalité, et en développant je ne trouve pas la même chose.
    pour les 2 autres je trouve : [2n^3+9n²+13n+6]/6
    pour la dernière partie de l'églité je trouve [2n^3+8n²+10n+4]/6
    pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

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  10. #7
    burnttoast

    Re : Démonstration par récurrence

    J'ai déjà trouvé une erreur de parenthèses, je trouve donc
    [2n^3+9n²+10n+6]/6
    il me manque 3n que je vais rechercher

  11. #8
    burnttoast

    Re : Démonstration par récurrence

    En fait c'était encore une erreur de calcul, je suis désolée je dois être fatiguée de voir des n partout

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