Bonsoir!
Je dois chercher l'intersection de la sphère de centre O(1,-1,2) de rayon 2 et le plan 3x+4z-1=0.
J'ai donc un système de 2 équations:
(x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4
3x+4z-1=0
Mais il y a 3 inconnues...Je ne sais pas comment résoudre?
Merci pour vos conseils!
Bonsoir,
D'après toi, qu'est ce que l'intersection d'une sphére et d'un plan, géométriquement parlant ? un / des points ? une droite ? un cercle ? un plan ? autre ? rien ?
Quand tu auras répondu à cette question, tu réfléchira à comment on représente cet objet dans l'espace (en termes de coordonnées)...
Je pense qu'il y a 3 possibilités:
1) l'intersection est vide: le plan ne coupe pas la sphère
2) l'intersection est réduite à 1 point si le plan est tangent à la sphère
3) un cercle si le plan coupe la sphère
mathematiquement si un point apartient au cercle et au plan que verifie t il??
si tu repond a cela tu pourras trouver tes conjectures
Dans le repère donné, les coordonnées du point doivent vérifier simultannément:
- l'équation de la sphère
et l'équation du plan ???
C'est ce que j'ai essayé d'écrire...C'est pas ça?
Si c'est ca donc tu a une egalité entre SPhère=Plan que tu simplifie et tu doit tombé sur une equation de ... dans un espace de dimension3
On en revient à la question de départ:
- l'écriture des équations de mon système est-elle correcte?
- je bloque ensuite pour le résoudre!!!
système correcte
exprime tes equations en fonction d'une variable (z par exemple) et tu te ramène a un systeme a deux equations a deux inconnues
quand tu feras varier ton z soit tu obtiendras un cercle, soit un point soit rien...
ben oui, c'est ce que j'ai esayé de faire:
- l'équation du plan me donne z=(1-3x)/4
- je reporte dans l'équation de la sphère, et ça me donne une équation inextricable en x^2, y^2 ?????
Ou alors il y a une astuce que je ne vois pas???
Si tu peux utiliser des vecteurs:
1- calcule la distance d entre le plan et le centre C du cercle. C'est la longueur de la perpendiculaire abaissée à partir de C sur le plan. Par léquation du plan, on sait que le vecteur (3,4,0) est perpendiculaire au plan, donc avec un petit produit scalaire approprié c'est facile de trouver cette distance.
2- si d>rayon du cercle: pas d'intersection
si d=rayon: l'intersection est un point, qui est le pied de la perpendiculaire déterminée en 1.
si d<rayon: l'intersection est un cercle. L'équation vectorielle du cercle peut être déterminée comme ceci: le pied P de la perpendiculaire est le centre du cercle, et son rayon r peut être calculé par trigonometrie. Ensuite tu as besoin de 2 vecteurs disons orthogonaux U et V pour faciliter les choses. Avec ca tu peux trouver l'équation vectorielle du cercle du genre: X = P + r cos(t) U + r sin(t) V.
Bonsoir!
Astucieux le calcul de la distance! D'autant que c'est facile, mais je n'y ai pas pensé....
Je trouve D=2 --> le plan est donc tangent à la sphère.
Calculer ses coordonnées est une autre affaire...
Si je reviens à mon équation de départ, pas de piste pour résoudre?
Le vecteur N=(3,0,4)/5 est perpendiculaire au plan. Le point d'intersection est le long de ce vecteur, à une distance de 2 unités du centre. Le hic c'est qu'à priori on ne connait pas de quel côté du centre le plan se trouve, il y a 2 possibilités. Mais c'est simple, on calcule les 2 points comme ceci:
P1 = O + 2N = (11/5, -1, 18/5)
P2 = O - 2N = (-1/5, -1, 2/5)
et on vérifie lequel est aussi dans le plan: c'est P2. C'est la réponse.
C'est limpide!!! Merci
Mais n'y a t-il pas la possibilité de trouver la même chose avec le système d'équation Sphère et Plan?
au fait, pourquoi N/5 ?
Bonjour!
Avec les résultats précedents, j'ai pu résoudre le système d'intersection de la shère et du plan:
1) (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4
2) 3x+4z-1=0
J'ai fait le raisonnement suivant:
l'équation 2) n'ayant pas de terme en y, on doit donc avoir dans 1) y+1 =0 donc je trouve y=-1.
En calculant z dans 2) et en reportant dans 1) il reste une équation du second degré dont le déterminant est nul => une racine double x=-1/5.
Je retrouve donc le point de tangence en (-1/5, -1, 2/5).
Merci à tous pour votre aide
