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Intersection Plan et Sphère



  1. #1
    Jon83

    Intersection Plan et Sphère


    ------

    Bonsoir!
    Je dois chercher l'intersection de la sphère de centre O(1,-1,2) de rayon 2 et le plan 3x+4z-1=0.
    J'ai donc un système de 2 équations:
    (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4
    3x+4z-1=0
    Mais il y a 3 inconnues...Je ne sais pas comment résoudre?
    Merci pour vos conseils!

    -----

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  4. #2
    poly71

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Bonsoir,

    D'après toi, qu'est ce que l'intersection d'une sphére et d'un plan, géométriquement parlant ? un / des points ? une droite ? un cercle ? un plan ? autre ? rien ?
    Quand tu auras répondu à cette question, tu réfléchira à comment on représente cet objet dans l'espace (en termes de coordonnées)...

  5. #3
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Je pense qu'il y a 3 possibilités:
    1) l'intersection est vide: le plan ne coupe pas la sphère
    2) l'intersection est réduite à 1 point si le plan est tangent à la sphère
    3) un cercle si le plan coupe la sphère

  6. #4
    sender

    Re : Intersection Plan et Sphère

    mathematiquement si un point apartient au cercle et au plan que verifie t il??

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    sender

    Re : Intersection Plan et Sphère

    si tu repond a cela tu pourras trouver tes conjectures

  9. #6
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Dans le repère donné, les coordonnées du point doivent vérifier simultannément:
    - l'équation de la sphère
    et l'équation du plan ???
    C'est ce que j'ai essayé d'écrire...C'est pas ça?

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  11. #7
    sender

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Si c'est ca donc tu a une egalité entre SPhère=Plan que tu simplifie et tu doit tombé sur une equation de ... dans un espace de dimension3

  12. #8
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    On en revient à la question de départ:
    - l'écriture des équations de mon système est-elle correcte?
    - je bloque ensuite pour le résoudre!!!

  13. #9
    sender

    Re : Intersection Plan et Sphère

    système correcte
    exprime tes equations en fonction d'une variable (z par exemple) et tu te ramène a un systeme a deux equations a deux inconnues
    quand tu feras varier ton z soit tu obtiendras un cercle, soit un point soit rien...

  14. #10
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    ben oui, c'est ce que j'ai esayé de faire:
    - l'équation du plan me donne z=(1-3x)/4
    - je reporte dans l'équation de la sphère, et ça me donne une équation inextricable en x^2, y^2 ?????
    Ou alors il y a une astuce que je ne vois pas???

  15. #11
    sylvainc2

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Si tu peux utiliser des vecteurs:

    1- calcule la distance d entre le plan et le centre C du cercle. C'est la longueur de la perpendiculaire abaissée à partir de C sur le plan. Par léquation du plan, on sait que le vecteur (3,4,0) est perpendiculaire au plan, donc avec un petit produit scalaire approprié c'est facile de trouver cette distance.

    2- si d>rayon du cercle: pas d'intersection
    si d=rayon: l'intersection est un point, qui est le pied de la perpendiculaire déterminée en 1.
    si d<rayon: l'intersection est un cercle. L'équation vectorielle du cercle peut être déterminée comme ceci: le pied P de la perpendiculaire est le centre du cercle, et son rayon r peut être calculé par trigonometrie. Ensuite tu as besoin de 2 vecteurs disons orthogonaux U et V pour faciliter les choses. Avec ca tu peux trouver l'équation vectorielle du cercle du genre: X = P + r cos(t) U + r sin(t) V.

  16. #12
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Bonsoir!
    Astucieux le calcul de la distance! D'autant que c'est facile, mais je n'y ai pas pensé....
    Je trouve D=2 --> le plan est donc tangent à la sphère.
    Calculer ses coordonnées est une autre affaire...
    Si je reviens à mon équation de départ, pas de piste pour résoudre?

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  18. #13
    sylvainc2

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Le vecteur N=(3,0,4)/5 est perpendiculaire au plan. Le point d'intersection est le long de ce vecteur, à une distance de 2 unités du centre. Le hic c'est qu'à priori on ne connait pas de quel côté du centre le plan se trouve, il y a 2 possibilités. Mais c'est simple, on calcule les 2 points comme ceci:
    P1 = O + 2N = (11/5, -1, 18/5)
    P2 = O - 2N = (-1/5, -1, 2/5)
    et on vérifie lequel est aussi dans le plan: c'est P2. C'est la réponse.

  19. #14
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    C'est limpide!!! Merci
    Mais n'y a t-il pas la possibilité de trouver la même chose avec le système d'équation Sphère et Plan?

  20. #15
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    au fait, pourquoi N/5 ?

  21. #16
    Jon83

    Re : Intersection Plan et Sphère

    Bonjour!

    Avec les résultats précedents, j'ai pu résoudre le système d'intersection de la shère et du plan:
    1) (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4
    2) 3x+4z-1=0
    J'ai fait le raisonnement suivant:
    l'équation 2) n'ayant pas de terme en y, on doit donc avoir dans 1) y+1 =0 donc je trouve y=-1.
    En calculant z dans 2) et en reportant dans 1) il reste une équation du second degré dont le déterminant est nul => une racine double x=-1/5.
    Je retrouve donc le point de tangence en (-1/5, -1, 2/5).

    Merci à tous pour votre aide

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