aide au DM de math (terminaleS)

[invite1f9dd485]

Il faut trouver la limite en 0 de:
f (x)= (cosx - 1)/(x²)
g (x)= (sinx) / (x²)
k (x)= (sinx) / (Vx)
l(x) = (1 - cosx) / (sinx)

Puis, prouver que f (x)= (-1/2)*(sin(x/2)/(x/2))²

V: racine carrée
-----

[Jon83]

utilise la propriété lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f'(x)/g'(x)

[pallas]

la premier il faut savoir que lim ((sinx)/x) en zero est 1(cours)
sachant que cos2x = 1 -2 sin²x
on a cosx - 1 = -2sin²(x/2) d'ou (-2sin²x/2)/x² soit - (1/2)(sin(x/2)/ (x/2))²
d'ou une lim de -1/2

[invite1f9dd485]

merci beaucoup pour la fonction f
est-ce que pour la fonction g sa limite en 0⁺ = +oo
et en 0^- = - oo????
Par contre, pour les 2 autre je n'arrive pas en enlever l'indetermination.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

le g et le h sont immediates en disant que x²=xfois x pour g et pour h que racn(x) = x/(racine de x) ( x>o)
pour le l utilise le fait que cos x = 1-2sin²(x/2) et que sinx =2 sin (x/2)cos(x/2)

[invite1f9dd485]

est-ce que tu peux me donné seulement la réponse pour l et je ferait la démarche? Par contre, pour h je ne comprend pas désolé. Est-ce que tu peux un peu plus m'expliqué?

[Jon83]

pour x->0, lim(l(x))=lim (sin(x)/cos(x) = 0 car cos(x) -> 1 et sin(x) -> 0

[invite1f9dd485]

mais l(x) = (1-cosx)/(sinx) donc sa fait 0/0 donc c'est indeterminé

[Jon83]

tu n'as pas lu mon premier message?
pose A(x)= 1-cos(x) et B(x) = sin(x) qui sont définis et dérivable sur R
l(x) = A(x)/B(x)
lorsque x-->0, lim(l(x))=lim[A'(x)/B'(x)]
or, A'(x)=sin(x) et B'(x)=cos(x)
donc lim(l(x))=lim[sin(x)/cos(x)) l'indétermination est levée!!!
=> lim(l(x)) = 0

[invite1f9dd485]

merci beaucoup a vous tous

[invite1f9dd485]

Je dois démontré que la limVx = +(infini) quand x tend ver +(infini), pourvant que la fonction racine caré vérifie la condition posée dans la définition d'une fonction donc la limite est +(infini) en +(inifni).


V: racine carrée

[invite5150dbce]

utilise la propriété lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f'(x)/g'(x)

le théorème de L'hopital n'est pas au programme

[Jon83]

Je n'ai pas fait référence au théorème de l'Hopital: il suffit de faire le rapport des accroissements:
lim x --> a f(x)/g(x) =[(f(x)-f(a))/(x-a) / (g(x)-g(a))/(x-a)]
Si ces limites existent, on reconnait les définitions des dérivées de f et de g au point a!!!!!

[invite1f9dd485]

Merci beaucoup à vous tous.