DM Dérivées

[invite7094fe3d]

Bonsoir,

J'ai un petit problème avec un DM.
J'espère que vous voudrez bien m'aider.

"On veut étudier l'existence et le nombre d'extremum de la fonction f définie sur R par f(x)=x²-2sin(x)"

1/ Dériver f puis étudier les variations de la fonction dérivée f'.

f'(x) = 2x-2cos(x)

Je ne trouve pas la solution pour f'(x) = 0.
Je sais juste par graphique, qu'elle est proche de 1.
Donc je n'arrive pas à faire le tableau.

2/ Déterminer les limites de f' en +inf et -inf.

Alors j'ai fait un encadrement :

2x+2>2x-2cos(x)>2x-2

2x+2 tend vers -inf quand x tend vers -inf, donc f' tend vers -inf.
2x-2 tend vers +inf quand x tend vers +inf, fonc f' tend vers +inf.

3/ Montrer que l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution dans R notée alpha.

Alors là il me faut le tableau de signe...

4/ En déduire les variations de f sur R et l'existence d'un sule extremum m pour f.

5/ Montrer que m vérifie m = (alpha)²-2V(1-(alpha)²)
V pour racine.

Merci de votre aide !!
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[invitee3b6517d]

Bonsoir,

J'ai un petit problème avec un DM.
J'espère que vous voudrez bien m'aider.

"On veut étudier l'existence et le nombre d'extremum de la fonction f définie sur R par f(x)=x²-2sin(x)"

1/ Dériver f puis étudier les variations de la fonction dérivée f'.

f'(x) = 2x-2cos(x)

Je ne trouve pas la solution pour f'(x) = 0.
Je sais juste par graphique, qu'elle est proche de 1.
Donc je n'arrive pas à faire le tableau.

2/ Déterminer les limites de f' en +inf et -inf.

Alors j'ai fait un encadrement :

2x+2>2x-2cos(x)>2x-2

2x+2 tend vers -inf quand x tend vers -inf, donc f' tend vers -inf.
2x-2 tend vers +inf quand x tend vers +inf, fonc f' tend vers +inf.

3/ Montrer que l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution dans R notée alpha.

Alors là il me faut le tableau de signe...

4/ En déduire les variations de f sur R et l'existence d'un sule extremum m pour f.

5/ Montrer que m vérifie m = (alpha)²-2V(1-(alpha)²)
V pour racine.

Merci de votre aide !!

Bonsoir,

Pour , tu poses la solution et tu fais ton tableau avec .

Pour les limites, est du signe de car tend vers 1 ou -1

[invite7094fe3d]

Je n'ai pas très bien compris pour la solution.

Mais pour donner les variations de la fonction dérivée, il faut que je fasse la dérivée de la dérivée, non ?

[invite0255a0c1]

Oui logiquement si on veut les variation d'une fonction, il faut calculer sa dérivée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7094fe3d]

Ok donc :

f''(x) = 2+2sinx

0<2+2sinx<4

Donc toujours positive.
Donc f'(x) croissante sur R.

[invitee3b6517d]

Ok donc :

f''(x) = 2+2sinx

0<2+2sinx<4

Donc toujours positive.
Donc f'(x) croissante sur R.

Tu sais qu'en et tu connais les limites donc f'(x) est croissante sur [ [

As toi de trouver sur ] ]

[invite7094fe3d]

Mais de toute façon elle est strictement croissante donc elle est croissante sur ]-inf ; alpha]U[alpha ; +inf[

[invite0255a0c1]

Elle n'est pas strictement croissante

2 + 2 sinx peut être nul en .

Mais, f'' ne peut jamais être négatif. Donc la fonction est bien croissante sur tout le domaine

[invite7094fe3d]

Oui c'est à ça que je pensais merci

[invite7094fe3d]

3/ Montrer que l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution dans R notée alpha.

D'après le tableau de variations et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f'(x) = 0 admet une seule solution alpha dans R.

Encadrement a 10^-2 près :

0.99<alpha<1

Après pour la suite je ne sais pas comment faire

[invite0255a0c1]

4/ En déduire les variations de f sur R et l'existence d'un sule extremum m pour f.

Sachant que f ' est croissant sur tout le domaine et qu'il vaut zéro en alpha. Que peut-on dire de la variation de f ?

Pour ce qui est de l'extremum: qu'est-ce qui caractérise un extremum d'une fonction?

[invite7094fe3d]

Ah ok ! Oui vu comme ça ...

On peut dire que f est croissante sur [alpha ; +inf[ et décroissante sur ]-inf ; alpha].

Mais on n'a jamais vu la notion d'extremum, ou alors cela fait longtemps.

[invite7094fe3d]

Mais en fait le problème c'est que le bas de la parabole de f(x) n'arrive pas en alpha !

[invite7094fe3d]

C'est bon, il n'y a plus que la dernière question à laquelle je suis bloqué.

[invite0255a0c1]

On peut dire que f est croissante sur [alpha ; +inf[ et décroissante sur ]-inf ; alpha].

Tout à fait

Mais on n'a jamais vu la notion d'extremum, ou alors cela fait longtemps.

Il s'agit d'un minimum ou d'un maximum de la fonction. C'est-à-dire un point où la fonction arrête de croître pour décroitre (ou inversément). Il s'agit donc d'un point où la dérivée est nulle mais de plus où la dérivée à un signe différent de part et d'autre de ce point.

Ici, il y a bien sûr qu'un seul extremum puisque tu as montré que la dérivée n'a qu'une seule racine (question 3)

5/ Montrer que m vérifie

Alors, m représente l'extremum de la fonction f(x). Étant donné que f '(x)=0 en alpha, m = f(alpha).

Écris l'expression de m et essaye d'aboutir à l'équation demandée dans la question.

Indice:

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Utilise les propriétés suivantes:

et
(alpha étant la racine de f '(x) )