Dm TS spé maths BAC

[invite60457a4e]

Bonsoir à tous. J'ai un petit problème au niveau de mon DM de maths :

1. Démontrez par réccurence que, pour tout entier naturel n, 2^(3n) -1 est divisible par 7.
2. Déduisez en que 2^(3n+1)-2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2)-4 est un multiple de 7.
3. Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.




1. Initialisation :
P₀ 2^3*0-1=1-1=0 or 0 divisible par 7

Hypothèse :
P_k:2^3k-1==8^k-1=7q donc q=(8^k-1)/7

Hérédité :
P_k+1:2^3k+1-1=8^k+1-1=7q'?

8^k+1-1=7((8^k+1-1)/7)

Est-ce cela?

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[hhh86]

Bonsoir à tous. J'ai un petit problème au niveau de mon DM de maths :

1. Démontrez par réccurence que, pour tout entier naturel n, 2^(3n) -1 est divisible par 7.
2. Déduisez en que 2^(3n+1)-2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2)-4 est un multiple de 7.
3. Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.




1. Initialisation :
P₀ 2^3*0-1=1-1=0 or 0 divisible par 7

Hypothèse :
P_k:2^3k-1==8^k-1=7q donc q=(8^k-1)/7

Hérédité :
P_k+1:2^3k+1-1=8^k+1-1=7q'?

8^k+1-1=7((8^k+1-1)/7)

Est-ce cela?

non car (8^k+1-1)/7 est-il entier ?

[hhh86]

Caractère héréditaire:
Supposons que 2^(3k) -1 soit divisible par 7
Donc il existe q tel que 2^(3k) -1=7q
On a alors 2^(3(k+1)) -1=2^(3k+3) -1
=8*2^3k -1
=8*(7q+1)-1
=8*7q+8-1
=8*7q+7
=7(8q+1)
Donc la propriété est vraie au rang k+1

[invite60457a4e]

Merci beaucoup ! Je dois monter un raisonnement par reccurence pour la question 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

2^(3n+1)-2=2*2^(3n)-2=2(2^(3n)-1)
2^(3n+2)-4=4*2^(3n)-4=4(2^(3n)-1)