Ts limites valeurs positive ou negative

[invitee834c951]

J'ai un petit problème de compréhension sur le chapitre des limites.

Je vais vous donner un exemple pour faire plus simple ^^

Soit f(x) = 1-2x / (2-x)(2+x).

On me demande de calculer les limites en plus et moins l'infinie. Bon c'est assez simple je m'en sort.

Mais après on me demande de calculer les limites en 2 et -2 ce que je trouve, encore pour l'instant, logique.

Mais on nous parle de 2 "arrivant pas le haut" on note -2(et un plus en haut) et de 2 "arrivant pas le bas".

Intuitivement, je dirais qu'on cherche la limite de f(x) quand x tend vers 2 par valeurs positive, c'est ) dire se rapprochant de 2 par dessus de 2.

Mais perso j'y comprend rien et j'arrive pas à résoudre mes exos. J'ai contrôle bientôt si quelqu'un peut m'éclaircir sur ce point là ça me ferais plaisir
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[invitea29b3af3]

Salut

Oui tu as compris juste, c'est ce qu'on appelle les "limites à gauche" et les "limites à droite".

Le truc que j'utilise tout le temps pour les limites à gauche ou à droite c'est de dire que:
(pour la limite à gauche)
(pour la limite à droite)
Avec .

Je m'explique: par exemple si tu veux la limite de f(x)=3+x lorsque x tend vers 2 depuis la gauche (donc depuis les x négatifs), donc la limite quand x tend vers , ça revient à chercher la limite lorsque epsilon tend vers zéro avec x=2-epsilon. En effet, epsilon devient toujours plus petit, donc x se rapproche toujours plus de 2, mais depuis la gauche:
(en l'occurence ici la limite à droite donne bien sûr la même chose, c'est une fonction triviale). Garde bien en tête que epsilon > 0, c'est important.

Dans ton cas, on a une limite à droite de 2, donc limite lorsque x tend vers :


A la limite, le numérateur donne -3.
Au dénominateur, le (4+epsilon) donne 4 à la limite. Tandis que le (-epsilon), il donne 0, ou plutôt, il donne . En effet, epsilon est très petit et positif, donc en tendant vers la limite, le terme (-epsilon) tend vers zéro depuis la gauche, depuis les négatifs. Donc en fait, la limite est "0 négatif" (zéro de signe négatif) si tu veux. Donc au final on a comme limite:
"" (je le note entre guillemets parce que c'est mathématiquement très douteux comme notation.)

Le problème c'est le zéro au dénominateur. La limite est donc infinie. Mais +infini ou -infini ? Eh bien c'est très simple, tu cherches de quelle signe est la limite:
"" c'est "" donc moins sur moins c'est plus donc la limite est plus l'infini.