Congruence et factorisation

[invitec3d0b216]

Bonjour à tous =) !

Me revoilà pour une petite démonstration dont je n'arrive pas à venir à bout ...

Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors n⁴ ≣ 1 (16).

J'ai montré, comme n est impair :
n = 2k+1 et donc que :
n ≣ 1 (2)
n² ≣ 1 (2)
n⁴ ≣ 1 (2)

<=>

n⁴ - 1 = 2x ( avec x réel )
(2k+1)⁴-1 = 2x
En développant j'obtiens :
16k⁴+32k³+24k²+8k = 2x

Je voudrais montrer que 2x est un multiple de 16 ou bien qu'x est un multiple de 8 mais en factorisant par 16 dans cette expression par exemple, on a 24 et 8 qui deviennent des fractions.
Or je sais qu'il y a une astuce donc je n'arrive vraiment pas à me souvenir ! On l'a vue en cours et pas moyen de remettre la main dessus =S.
Ça consistait, entre autre à décomposer 24 de façon à obtenir des multiples de 16 seulement là, on aurai 24 = 16+8 ce qui ne m'avance pas vraiment non plus ...

Si quelqu'un voyait ce dont je parle ce serai très gentil de me le rappeler .

Il est possible aussi que je sois partie sur un raisonnement complètement faux .

Tout conseil sera le bienvenu !

Merci de votre attention
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[invitea3eb043e]

Ecris donc que n=2 k + 1 et élève à la puissance 4 (2 fois au carré) et regarde ce que ça donne.

[invitec3d0b216]

J'ai le même genre de problème :

8(2k⁴+4k³+3k²+k) +1

ça signifie bien que n⁴ ≣ 1 (8) ou je continue de me tromper ?

Merci de ton aide =)

[invitea3eb043e]

C'est bien mais pas encore au bout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d0b216]

Oui mais il faut que ce soit congru à 1 (16) et non pas 1 (8).
J'peux multiplier 8 par 2 comme ça ?

[invitea3eb043e]

Dans ton n^4, enlève tout ce qui est de toute évidence un multiple de 16. Regarde le reste, tu verras un truc du genre 8 k(k+1) +1 et là, tu pourras conclure.

[invitec3d0b216]

je l'ai bien vu mais ... Je n'arrive pas à conclure =$
J'en suis là :

16(k⁴ + 2k³ + k²) + 8k(k+1) + 1

Et donc que (k⁴ + 2k³ + k²) +1 ≣ 1 (16)
et
k(k+1) ≣ 0 (8)

Est-ce donc que k(k+1) est forcément pair et donc que c'est divisible par deux et avec ça je pourrais dire que
k² + k ≣ 0 (16)

et par addition

(k⁴ + 2k³ + k²) +1 + k(k+1)≣ 1 (16) ?

[invitea3eb043e]

Pas exactement bien rédigé : dis que k(k+1) = 2 p dans la première ligne et tu vois le résultat sauter aux yeux.

[invitec3d0b216]

Merci beaucoup de ta patience, j'ai enfin compris le principe de ce genre d'exos, chaque fois je me plantais mais je pense que ça va aller mieux maintenant !