A Propos de la congruance [SpéMaths]

[Usuk]

[ EDIT : désolé le titre porte à confusion. C'est pas de la prépa mais de LA TERMINALE]
Bonsoir,

J'ai un exercice à faire que j'ai commencé à bosser avec mon prof particulier de maths (on a pas tous cette chance je sais) mais un point reste sombre. Pourriez vous m'expliquer la solution ?

Je vous pose l'énoncé (et les questions précédentes brièvement)
- Démontrer que 2005^2005 congru à 7 [9]
- Démontrer Entier est congru à la somme de ses chiffres [9]
- Déduire que Entier est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres est divisible par 9

La où j'ai mon problème :

On suppose que A = 2005^2005, on désigne par
- B la somme des chiffres de A
- C la somme des chiffres de B
- D la sommes des chiffres de C

Démontrer que A est congru à B [9] (OK)

Sachant que 2005< 10000, démontrer que A s'écrit en numérotation décimale avec au plus 8020 chiffres :
Voila ce que j'ai fait :
2005 < 10^4
2005^2005 < (10^4)^2005
A < 10^8020

10^8020 est le plus petit nombre comportant 8021 chiffres. Comme A est strictement inférieur à 10^8020, on a bien A qui sécrit avec au plus 8020 chiffres en base 10.

Puis les questions qui me posent le plus de problèmes :
En déduire que B inférieur ou égal à 72180
Là je vois bien que 8020x9 = 72180
Donc ya un truc avec les congruances. Mais je ne vois pas très bien, enfin je comprend pas le fond de la chose.


Il y a d'autres questions que je n'arrive pas à résoudre mais bon je pense que si vous m'éclairez sur celle plus haut, je pense que je pourrais y arriver. Je les met quand même si quelqu'un à le temps d'y jeter un coup d'oeil :
- Démontrer que C inférieur ou égal à 45
[La j'ai bien une petite idée du genre, comme B s'écrit avec 7x10^4, on peut avoir seulement C=6999. Enfin la encore je ne comprend pas tout bien]
- En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15
- Démontrer que D = 7
[Là aussi une petite idée, par rapport au 2005^2005 congru à 7 [9]. Mais c'est toujours flou]


Merci de votre attention en tout cas, je cherche surtout à comprendre alors s'il vous plait soyez bien clair !

Cordialement,
Lauriane.
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[lapin savant]

Salut,

- Démontrer que 2005^2005 congru à 7 [9]

On suppose que A = 2005^2005, on désigne par
- B la somme des chiffres de A
- C la somme des chiffres de B
- D la sommes des chiffres de C

Démontrer que A est congru à B [9] (OK)

on a bien A qui sécrit avec au plus 8020 chiffres en base 10.

Puis les questions qui me posent le plus de problèmes :
En déduire que B inférieur ou égal à 72180
Là je vois bien que 8020x9 = 72180

Justement, comme tu as montré que A s'écrivait avec au plus 8020 chiffres en base 10, quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir ?
Il suffit de dire qu'au max, tous les chiffres de A valent 9,

et tu obtiens en sommant 8020 fois 9 (autrement dit, en calculant B) : 72180, soit .

Il y a d'autres questions que je n'arrive pas à résoudre mais bon je pense que si vous m'éclairez sur celle plus haut, je pense que je pourrais y arriver. Je les met quand même si quelqu'un à le temps d'y jeter un coup d'oeil :
- Démontrer que C inférieur ou égal à 45
[La j'ai bien une petite idée du genre, comme B s'écrit avec 7x10^4, on peut avoir seulement C=6999. Enfin la encore je ne comprend pas tout bien]
- En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15
- Démontrer que D = 7
[Là aussi une petite idée, par rapport au 2005^2005 congru à 7 [9]. Mais c'est toujours flou]

En partant de la majoration de B,


et en discutant sur le fait que A est congru à B modulo 9 (et non 7, c'est ce que tu cherches à montrer !), tu dois en déduire la valeur de D.

[Usuk]

Justement, comme tu as montré que A s'écrivait avec au plus 8020 chiffres en base 10, quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir ?
Il suffit de dire qu'au max, tous les chiffres de A valent 9,

et tu obtiens en sommant 8020 fois 9 (autrement dit, en calculant B) : 72180, soit .

D'accord d'accord, en fait c'est tout concon ! Merci =)

En partant de la majoration de B,

Rhalala, ça aussi c'est tout simple ...

En tout cas merci énormément !
En fait pour résoudre ce genre d'exercice il suffit d'exprimer les lettres. D'écrire mathématiquement l'énoncé... et de se laisser guider.
En fait c'est comme partout; oké, oké

Là c'est un peu tard, mais je vais voir si je réussi les questions manquantes et je posterai pour voir. J'espère que ça ne posera pas de problème de double post... A moins que quelqu'un réponde entre temps (ce que je souhaite) !

Vraiment merci à toi !
Bonne nuit.

> Lauriane

[Usuk]

Bonjour,
J’ai donc fait la suite par moi-même, je vous soumets mes résultats, je ne suis pas sure de leur exactitude !

Démontrer que C inférieur ou égal à 45
Je ne comprend pas bien le résultat car je ne trouve pas C < 45 mais plutôt C inférieur ou égal à 42.
Je pars de B < 72180 et je dis que le maximum de C est la somme des chiffres de B avec le plus haut nombre décimal soit 9 ; comme B ne peut être égal à 79999 on part du dixmillième en dessous soit 69999 et on trouve C inférieur ou égal à 6+9+9+9+9=42

Le seul moyen de parvenir à C < 45 et de dire que B< 99999 au maximum (pourquoi d’ailleurs ?) et donc C< 9+9+9+9+9 = 45

Donc là je comprend pas bien !

En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.

Sur ce coup la je ne suis pas d’accord avec ta réponse Lapin Savant :

En partant de la majoration de B,

Car si C = 39 (ce qui correspond bien à la contrainte de C inférieur ou égal à 45) on trouve D = 3+9=12, soit plus que la majoration que tu as établi avec D < 9 !
Je propose ;
Avec C< 45, on pourrait dire que D < 4+5=9 mais il existe un entier inférieur à 45 dont la somme des chiffres est supérieure à 9, 39.
Avec 3+9=12 ; C’est le maximum de D. Donc D inférieur ou égal à 12

Donc soit je ne comprends pas bien, soit tu t’es trompé…

Démontrer que D=7
Auparavant on a dit que 2005^2005 = A
Et que 2005^2005 est congru à 7 [9]
Ainsi que A congru à D [9]
Peut-on alors en déduire que D= 7 ??


> J’ai également une question où on me demande de prouver que Entier est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres est divisible par 9. En sachant que Entier est congru à la somme de ses chiffres [9]

On appelle N l’entier, S la somme de ses chiffres.
Peut-on dire que :
N congru à 0 [9] <=> N divisible par 9
S congru à 0 [9] <=> S divisible par 9
Alors N-S congru à 0-0 (soit 0) modulo 9
Ce qui veut dire que (N-S)-0 = 9k donc N congru à S modulo 9

Je ne sais pas si ça vaut quelque chose et encore moins si j’ai réussi à démontrer le « si et seulement si »

Merci de vos réponses & désolée pour le double post.
> Lauriane

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