fof(x)=-x

[thomas3400]

Bonjour voici un problème ouvert d'un dm que je comprends pas :
Pouvez vous trouver une fonction f définie sur R telle que :

-----

[inviteae7fd42d]

Bonjour,
la solution qui me vient spontanement a l'esprit serait la fonction f definie sur et a valeurs dans suivante:

ou est le nombre complexe imaginaire tel que

En effet on obtient alors


La question est en fait: as tu deja vu les nombres complexes?

[thomas3400]

Non je n'ai pas vu les nombres complexes. Et puis i²=-1 ?? Un carré peut il est négatif..... ?

[invite652ff6ae]

Non je n'ai pas vu les nombres complexes. Et puis i²=-1 ?? Un carré peut il est négatif..... ?

Dans , un carré ne peut être négatif, mais dans oui

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite652ff6ae]

Sinon j'ai trouvé une fonction telle que fof(x) = -x, c'est à dire telle que f( f(x) ) = x pour tout réel x.

Soit

Je te laisse voir pourquoi ça marche

[Jeanpaul]

Futé ! Mais que se passe-t-il si x<0 ? Ex : x=-5
On trouve d'abord -5 et encore -5. Ca ne fait pas -x.
Il doit y avoir moyen en affinant.

[invite652ff6ae]

Futé ! Mais que se passe-t-il si x<0 ? Ex : x=-5
On trouve d'abord -5 et encore -5. Ca ne fait pas -x.
Il doit y avoir moyen en affinant.

Oui je viens de m'en rendre compte, je réfléchis

[hhh86]

[Jeanpaul]

Ca, c'est la fonction - x.
La solution ne peut être ni paire, ni impaire, elle n'est pas simple.

[invite652ff6ae]

Ça marche pas si x positif.

[hhh86]

Oui erreure de ma part

[hhh86]

Je pense que l'on pourra jamais trouver une telle fonction sans passer dans un ensemble extérieur à IR

[Jeanpaul]

Solution possible quoique imparfaite :
De -infini à -1 : f(x) = -1/x
de -1 à 0 : f(x) = 1/x
de 0 à +1 : 1/x
de 1 à + infini : -1/x
Il reste 3 points où la fonction n'est pas définie, mais on peut dire que f(0)=0 . Pour 1 et -1, faut voir.

[hhh86]

J'ai trouvé une solution (à vérifier):
f : x|-->
{0 si x=0
x-1 si E(x) est pair et x>0
-x-1 si E(x) est impair et x>0
x+1 si E(x-1) est pair et x<0
-x+1 si E(x-1) est impair et x<0

[hhh86]

Solution possible quoique imparfaite :
De -infini à -1 : f(x) = -1/x
de -1 à 0 : f(x) = 1/x
de 0 à +1 : 1/x
de 1 à + infini : -1/x
Il reste 3 points où la fonction n'est pas définie, mais on peut dire que f(0)=0 . Pour 1 et -1, faut voir.

En fait on a eu à peu près la même idée

[Jeanpaul]

Exact : l'idée est de laisser une mémoire de passage. J'avais pensé proposer la fonction f(x) = x.signe aléatoire(x) . Ca marche 1 fois sur 2, c'est mieux que rien !

[invite803a8ebc]

bon je vais tenter un truc mais je suis vraiment pas sur...
pour tous réels x, (fof)(x)=-x donc fof est strictement décroissante, donc f est strictement croissante et strictement décroissante=bug donc f existe pas... (super mal écrit mais bon vous voyez l'idée?)
la question est bien 'pouvez vous trouver...' donc la réponse serait non, mais bon je suis pas sur

[hhh86]

bon je vais tenter un truc mais je suis vraiment pas sur...
pour tous réels x, (fof)(x)=-x donc fof est strictement décroissante, donc f est strictement croissante et strictement décroissante=bug donc f existe pas... (super mal écrit mais bon vous voyez l'idée?)
la question est bien 'pouvez vous trouver...' donc la réponse serait non, mais bon je suis pas sur

ce que tu dis est idiot puisque Jeanpaul et moi avons trouvé deux fonctions distinctes vérifiants (fof)(x)=-x

[Jeanpaul]

Faut pas dire qu'un truc est idiot, il vaut mieux expliquer où est l'astuce : c'est d'envoyer la première fois dans une zone telle que la seconde fois, on exploite une zone différente. hhh86 utilise les parties entières : une fois elle est paire, une fois impaire Moi, je propose la valeur absolue : supérieure ou inférieure à 1.
Donc, c'est précisément étudié pour que ce soit la même fonction qui agit, mais qu'elle n'agisse pas sur la même zone.

[hhh86]

Faut pas dire qu'un truc est idiot, il vaut mieux expliquer où est l'astuce : c'est d'envoyer la première fois dans une zone telle que la seconde fois, on exploite une zone différente. hhh86 utilise les parties entières : une fois elle est paire, une fois impaire Moi, je propose la valeur absolue : supérieure ou inférieure à 1.
Donc, c'est précisément étudié pour que ce soit la même fonction qui agit, mais qu'elle n'agisse pas sur la même zone.

Ce que je trouve idiot, c'est qu'on a tous les deux proposé une idée et lui au lieu de regarder ce qu'on a fait essaye de prouver le contraire en écrivant n'importe quoi mais tu as raison il vaut mieux lui expliquer calmement ce qu'on a fait mais encore faut-il qu'il regarde

[invite803a8ebc]

désolé j'aurais du être plus explicite.
J'avais regardé vos méthodes, je les avaient comprises, mais d'après les autres messages de thomas3400, il est en première S, et en première S je pensais pas qu'il avait vu la fonction partie entière ou des fonctions non continues auxquelles ont dit par exemple que f(0)=0.
Je pensais que l'énoncé de sa question parlait de fonctions qu'ils peuvent imaginer, je pensais pas qu'il pouvait imaginer des fonctions changeant suivant les valeurs de x, je pensais donc que dans ce cas, sans ce genre de fonctions, ma remarque n'était pas fausse.
Par contre tu as dit "écrivant n'importe quoi", ça m'embête, j'étais pas sûr de moi mais de là à écrire vraiment des trucs totalement faux Qu'est-ce qui ne va pas?

[hhh86]

J'ai trouvé une solution (à vérifier):
f : x|-->
{0 si x=0
x-1 si E(x) est pair et x>0
-x-1 si E(x) est impair et x>0
x+1 si E(x-1) est pair et x<0
-x+1 si E(x-1) est impair et x<0

Cette fonction ne vérifie pas la propriété fof(x)=-x sur ]-1;1[\{0} et pour tout x de Z\IN
Je m'explique. J'ai essayé tout d'abord d'établir la fonction sur un ensemble restreint :
{-2;-1;1;2}
-2-->-1-->2
-1-->2-->1
2-->1-->-2
1-->-2-->-1
Dans cet ensemble on peut donc dire que la fonction f définie par la relation ci-dessus vérifie la relation fof(x)=-x :
f(x)=
{
x-1 si x est pair et x>0
-x-1 si x est impair et x>0
x+1 si x est pair et x<0
-x+1 si x est impair et x<0

J'ai ainsi étendu la relation sur N* puis sur IR par la relation suivante :
f : x|-->
{0 si x=0
x-1 si E(x) est pair et x>0
-x-1 si E(x) est impair et x>0
x+1 si E(x-1) est pair et x<0
-x+1 si E(x-1) est impair et x<0

Contre-exemple -2 :
-2<0 et E(-2-1)=-3 est impair
-2-->3-->-4
Contre exemple -0,5 :
-0,5<0 et E(-0,5-1)=-2 est pair
-0,5-->0,5-->-0,5

J'en propose donc une autre qui cette fois vérifie la propriété sur IR\{-1;1}:
f : x|-->
{0 si x=0
x+1 si E(x) est pair et x>0
-x+1 si E(x) est impair et x>0
x-1 si E(|x|) est pair et x<0
-x-1 si E(|x|) est impair et x<0

[Jeanpaul]

bon je vais tenter un truc mais je suis vraiment pas sur...
pour tous réels x, (fof)(x)=-x donc fof est strictement décroissante, donc f est strictement croissante et strictement décroissante=bug donc f existe pas... (super mal écrit mais bon vous voyez l'idée?)
la question est bien 'pouvez vous trouver...' donc la réponse serait non, mais bon je suis pas sur

Ce raisonnement suppose que la fonction est partout continue, donc tu peux conclure qu'il n'existe pas de solution continue monotone. C'est là la difficulté : imaginer une fonction tordue avec des discontinuités.
J'aimerais savoir à quel niveau ce problème a été posé.

[hhh86]

Désolé mathieu, ton raisonnement n'est pas faux mais incomplet, je suis vraiement désolé

[hhh86]

Il y a quand même un truc qui ne va pas avec ce que je propose et ce que jeanpaul propose. C'est le cas en 1 et en -1

[Jeanpaul]

Il y a quand même un truc qui ne va pas avec ce que je propose et ce que jeanpaul propose. C'est le cas en 1 et en -1

C'est vrai. En zéro, on peut s'en sortir mais en 1 et -1 ça cloche. Je suis sec.

[hhh86]

Voilà une fonction qui ne pose vraiement aucun problème sur IR :
Si x appartient à N*, alors
f(x)=
{
x-1 si x est pair et x>0
-x-1 si x est impair et x>0
x+1 si x est pair et x<0
-x+1 si x est impair et x<0
Si x appartient à IR\IN*:
f(x)=
{0 si x=0
x+1 si E(x) est pair et x>0
-x+1 si E(x) est impair et x>0
x-1 si E(|x|) est pair et x<0
-x-1 si E(|x|) est impair et x<0

[hhh86]

Son prof va être vert

[thomas3400]

wowowow ! Merci de toutes vos réponses ! Mtn faudra que je prenne du tps à étudier vos propositions !!

[invite652ff6ae]

Voilà une fonction qui ne pose vraiement aucun problème sur IR :
Si x appartient à N*, alors
f(x)=
{
x-1 si x est pair et x>0
-x-1 si x est impair et x>0
x+1 si x est pair et x<0
-x+1 si x est impair et x<0
Si x appartient à IR\IN*:
f(x)=
{0 si x=0
x+1 si E(x) est pair et x>0
-x+1 si E(x) est impair et x>0
x-1 si E(|x|) est pair et x<0
-x-1 si E(|x|) est impair et x<0

Si x = -1, alors fof(-1) = f(0) = 0