exponentielle

[invite27beb2c9]

salut a tous voici mon exo

Partie A - Étude de fonctions
On considère les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :
f1(x) = (x + 1)e^-x ; f2(x) = - xe^-x ; f3(x) = (x  1)e  x.
On appelle (C1), (C2), (C3) leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthogonal (O*; ,) du plan. Les courbes (C2), (C3) sont données dans l'annexe ci-jointe.

1. Étude de la fonction f1

a) Calculer la dérivée f '1 de f1 et étudier son signe. En déduire les variations de f1.
(0,5 + 0,5 + 0,5 point)
b) Déterminer les limites de f1 en +, en -. (0,5 + 0,25 point)
c) Dresser le tableau de variation de f1.





reponse : 1) f'(x)= -x*e^-x
etude du signe : e^-x > 0 donc le signe depend de -x
quand x>0 f'(x)>0
x<0 f'(x)<0


2) lim en + infini : 0
lim en - infini : + infini

je vous remerci de bien vouloir m'expliquer et me corriger si quelque chose vous perturbe et de savoir si mes resultat sont correct
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[Jeanpaul]

Le signe de f'1 et la limite en -infini, ça ne colle pas. Regarde de plus près.

[invite27beb2c9]

c'est a dire ?
e^-x etant positif le signe ne dependrais t'il pas de -x?
et pour la limite e - infini pourrais tu m'expliquer


quelqu'un pourrait -il m'eclaircir s'il vous plait

[Jeanpaul]

C'est ça qui ne va pas :
etude du signe : e^-x > 0 donc le signe depend de -x
quand x>0 f'(x)>0
x<0 f'(x)<0
f'(x) a le signe de -x et toi tu lui donnes le signe de +x

Ensuite si x tend vers -infini , exp(-x) tend vers + infini et le produit vers -infini et pas plus, comme tu écris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite27beb2c9]

oui effectivement
alors pour l'etude de -x
-x<0 donc f'1 <0
-x>0 pas possible

donc f'1 sera negatif
maissur quelle intervalle ? ]-Inifin ; 0 ] ?

[Jeanpaul]

Pourquoi x ne pourrait-il pas être négatif ?

[invite27beb2c9]

je ne comprend pas
n'est ce pas ce que je viens de dire
-x<0 donc f'1 <0
-x>0 ce n'est pas possible

donc forcement sa sera negatif ?

peut tu m'expliquer ?stp

[Jeanpaul]

j
-x>0 ce n'est pas possible

donc forcement sa sera negatif ?

Ce qu'il faudrait, c'est faire de vraies phrases, dis de quoi tu parles, sinon on n'avancera pas.

[invitec8b46424]

Bonjour,

moi je viens de calculé la dérivée de f1 mais je ne trouve pas la meme chose.
Pour f'1,j'ai (2+x)e^-x.
Dans f1 j'ai remplacé x+1=u et e^-x=v
Donc d'après la formule f'(uv)=u'v+v'u
ce qui donne f'1=1e^-x + e^-x(x+1)

Peut etre que j'ai faux,mais vérifié quand meme

[invite27beb2c9]

oui donc je reprends tout

f'1= est de la forme de u'v+v'u avec
u(x)=(x+1) et v(x)=e^-x
on a donc u'(x)=1 et v'(x)= -e^-x

d'ou f'1=1*e^-x +(x+1)*e^-x
=e^-x *(1-(x+1))
=-x *(e^-x)


ensuite on se propse d'etudier son signe
donc e^-x>0 donc le signe depend de -x

enfin je ne sais pas trop comment m'y prendre en fait

- on etudie les limites de f1 en + infini et - infini
en plus infini on a une forme inderterminé car
lim(x+1) suand x tend vers +inf = +inf
lim e^-x quand x tend verd + inf = 0

donc on ecrit f1 sous la forme xe^-x-1e^-x
lim de xe^-x=0 quand x tend vers 0
lim e^-x quand x tend vers +inf = 0

donc lim de f1 =0 quand x tend vers + infi

pour la limite en - inf
lim(x+1) quand x tend vers - inf = - inf
lim e^-x quand x tend vers - inf = - inf

donc lim f1 = - inf quand x tend vers - inf

est ce correct ?
peut tu m'aider surnl'etude de signe je en sai spas pk je n'y arrive pas

[Jeanpaul]

Mettons ça au propre !
La dérivée, c'est bien - x exp(x), elle a le signe opposé de celui de x.

Donc on fait un tableau de variation de -infini à 0 puis à + infini.
De - infini à 0, la fonction croit car f'1(x)>0 et de 0 à + infini elle décroit car f'1(x)<0

Ensuite, les limites : en - infini, ce n'est pas une forme indéterminée et elle tend bien vers -infini.
En + infini, on a une forme x exp(-x) (on néglige le 1) et ça c'est indéterminé car de la forme infini. zéro mais on sait d'après le cours que c'est l'exponentielle qui l'emporte, donc ça tend vers zéro.
Donc, à part la variation, tu y étais.

[invite27beb2c9]

merci bocp pour to aide je te remerci
mais dans ce meme exo j'ai une autre question qui me porte probleme

on doit montrer que f1 (x+1)e^-x est solution de l'equation differentielle y+y'= e^-x

c'est quen equation differentielle de la formae y'=ay +b

donc on a y'=y+e^-x

mais apres je ne sais pas comment m'y prendre

[Jeanpaul]

donc on a y'=y+e^-x

Ce n'est pas ce que je calcule !

[invitec8b46424]

Toi tu fais ce calcul

d'ou f'1=1*e^-x +(x+1)*e^-x
=e^-x *(1-(x+1))
=-x *(e^-x)

Je ne vois pas comment tu factorise : 1*e^-x+ (x+1)*e^-x = e^-x *(1-(x+1))

Mais moi je trouve cela : 1*e^-x+ (x+1)*e^-x = e^-x *(1+(x+1))

vérifie ton calcul ou sinon dis moi ou je me suis trompé parce que c'est affolant si je ne vois pas ma faute.
Merci

[invite00fc3204]

Toi tu fais ce calcul

d'ou f'1=1*e^-x +(x+1)*e^-x
=e^-x *(1-(x+1))
=-x *(e^-x)

Je ne vois pas comment tu factorise : 1*e^-x+ (x+1)*e^-x = e^-x *(1-(x+1))

Mais moi je trouve cela : 1*e^-x+ (x+1)*e^-x = e^-x *(1+(x+1))

vérifie ton calcul ou sinon dis moi ou je me suis trompé parce que c'est affolant si je ne vois pas ma faute.
Merci

il s'est trompé de signe en cours de calcul, mais le resultat est bon