Petit problème de Seconde (EULER)

[invite97eb3f8b]

Bonjour,
Je suis tomber sur un petit problème qui ne pas l'air très compliqué. Cependant, je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider? (c'est du niveau de seconde, je crois)
(D'après un texte d'EULER)
"Trois personnes A, B, et C jouent à un jeu d'argent. Chaque partie a un perdant et deux gagnants. Le perdant donne de l'argent à chaque gagnant de sorte que chaque gagnant double la somme qu'il possédait avant la partie.
Trois parties sont jouées : A perd la première, B la seconde et C la troisième.
Après ces trois parties, chaque joueur possède 24 Louis.
On demmande la mise initiale de chaque joueur."

Cela peu paraitre facile, mais je n'y arrive. Si quelqu'un veut bien m'aider.... merci d'avance.
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[invite97eb3f8b]

Je vous donne déjà ce que j'ai trouvé:
(Sa=somme initiale de A
Sb=somme initiale de B
Sc=somme initiale de C)

Fin de la Première partie:
·pour le joueur A: Sa-(Sb+Sc)=6
·pour le joueur B: 2*Sb=?
·pour le joueur C: 2*Sb=24

Fin de la deuxième partie:
·pour le joueur A: (Sa-Sb-Sc)*2=12
·pour le joueur B: 2Sb-[(Sa-Sb-Sc)+2*Sc]=12 soit 3Sb-Sa-Sc=12
·pour le joueur C: 4*Sc=48

Fin de la Troisième partie:
·pour le joueur A: (Sa-Sb-Sc)*4=24
·pour le joueur B: 4Sb-[(Sa-Sb-Sc)+2*Sc]*2=24 soit 6Sb-3Sa-3Sc=24
·pour le joueur C: 4Sc-[2*(Sa-Sb-Sc)+(3Sb-Sa-Sc)]=24

Merci d'avance....

[Gwyddon]

ben il te reste plus qu'a résoudre le système 3*3 que tu obtiens et c'est bon

[invite97eb3f8b]

Merci,
heu.... c'est quoi le système 3*3?
Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

A la fin de la troisième partie, tu as obtenu un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues (système 3*3), que tu peux résoudre sans trop de soucis

[invite97eb3f8b]

Bonsoir,
Je n'ai pas appris à résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues. (je suis en seconde, et on ne l'a pas encore fait.)
Pouvez vous me montrer....
Merci d'avance.

[Gwyddon]

en fait c'est comme pour deux équations, sauf qu'il y en a 3

essaye d'exprimer une des inconnues en fonctions des deux autres à l'aide d'une des équations, tu la réinjectes dans les deux autres, et tu obtiens un système de 2 équations à deux inconnues, que tu résoud (ça normalement tu sais faire, c'est au programme de 2nde il me semble)

bon courage

[invite97eb3f8b]

Merci,
cependant, je ne comprend toujours pas à quoi cela va m'avancer de résoudre l'équation. Comment trouver la mise initiale de chaque joueur en resolvant cette equation?

[lignux]

Bien plus simple: tu pars de la fin. Voici ma solution: 39, 21, 12
Quant aux équations de flyer, je ne comprends pas tout à fait d'où elles viennent. Dans tous les cas je ne crois pas qu'elles soient bonnes...

Ou alors c'est moi qui ai tout faux.

[invite97eb3f8b]

Bonsoir,
On viens juste de commencer le cours sur les équations à deux inconnues, donc, je ne suis pas très fort...
Voici ce que j'ai fais:
On commence ici:

Fin de la Troisième partie:
·pour le joueur A: (Sa-Sb-Sc)*4=24
·pour le joueur B: 4Sb-[(Sa-Sb-Sc)+2*Sc]*2=24 soit 6Sb-3Sa-3Sc=24
·pour le joueur C: 4Sc-[2*(Sa-Sb-Sc)+(3Sb-Sa-Sc)]=24

Résolution du système de 3 équations à 3 inconnues:
·1ere equation: 4Sa-4Sb-4Sc=24
·2eme equation: -2Sa+6Sb-2Sc=24
·3eme equation: -Sa-Sb+7Sc=24


J'isole le x de la 3eme equation, ce qui donne: Sa=7Sc-Sb-24

Puis, je remplace les "x" des autres equations par 7Sc-Sb-24.

·1ere equation: -8Sb+24Sc-96=24
·2eme equation: 8Sb-16Sc+48=24

Pour faire disparaitre les "y", j'ajoute les deux équations: Ce qui donne:

-8Sb+8Sb+24Sc-16Sc-96+48=48
donc 8Sc-48=48
donc 8Sc=96
et donc Sc=96/8, soit 12.
J'ai donc trouvé la mise intiale de Sc, soit 12 Louis.

Mais comment faire pour trouver la mise des deux autres?
(Au lieu d'isoler "Sa" comme j'ai fais, j'isole Sc?)

Merci d'avance

[lignux]

Dans ton premier message, on lisait déjà: 4*Sc=48 ce qui se traduit immédiatement par Sc=12. Et c'est correct.

Par contre, on voit aussi 2*Sb=24, ce qui n'est pas bon.

Il doit y avoir une erreur qq part...

[invite97eb3f8b]

non, en faite, je me suis trompé en rocopiant.
Je voulais dire:
Fin de la Premiere partie:
·Pour le joueur C: 2Sc=24
sinon, je ne crois pas qu'il y ai d'erreurs, du moins je l'espère....
Si vous avez des solutions pour trouver la mise initiale de Sb et Sa, merci d'avance..... (par le calcul, bien sur)

[lignux]

Non ok, ce système est correct:
·1ere equation: 4Sa-4Sb-4Sc=24
·2eme equation: -2Sa+6Sb-2Sc=24
·3eme equation: -Sa-Sb+7Sc=24

[invite97eb3f8b]

Et comment fait on pour resoudre ceci. Je trouve pour Sc, mais pas moyen de trouver pour Sa ou Sb....

[Gwyddon]

En fait Flyer ton problème n'est pas tant le calcul que de savoir ce que tu fais.

Pour mieux comprendre, je vais prendre l'exemple des systèmes de deux équations à deux inconnues :
2x+3y=5
x- 3y=7

x et y inconnues.

Que signifie "résoudre ce système" ? Cela signifie trouver des couples (x,y) qui "marchent". Par exemple (1,1) n'est pas solution : on a bien 2*1 +3 *1 =5 mais par contre 1*1 -3*1 = -2 n'est pas égal à 7. Par contre le couple (4,-1) est bien solution puisque 2*4 - 3*1 = 5 et en même temps on a aussi 1*4 - 3 *(-1) = 7.

Pour trouver cette solution, on transforme le système de départ, pour obtenir un système plus simple.

Ainsi, si j'additionne les deux équations, y disparaît et j'obtiens une équation simple que doit vérifier x : 3x = 12, donc x=4.

Le système de départ est un système en x et en y : il est donc équivalent à résoudre le système constitué de l'équation 3x=12 plus l'équation 1 ou 2 de départ, par exemple l'équation x-3y=7.

Maintenant que l'on sait que x=4, alors on a 4-3*y = 7 donc y = -1.

Voilà comment résoudre le système initial, et l'on se rend compte qu'il n'y au qu'un couple solution : le couple (3,-1).

Pour un système 3*3, le principe est le même : à l'aide des trois équations de départ, tu sélectionnes une des équations qui te permet d'exprimer une des inconnues en fonctions des deux autres (par exemple x en fonction de y et z), puis tu réinjecte dans les deux autres équations cette expression de x ; tu obtiens alors avec ces deux autres équations un nouveau système de deux équations à deux inconnues, que tu résouds et qui te donne y et z. Ensuite, à l'aide de l'équation qui t'avait permis d'obtenir x en fonction de y et z, tu peux déterminer x.

Essaye de t'entraîner, tu apprendras plus facilement

Julien

[lignux]

Je reprends le système:
4Sa-4Sb-4Sc=24 (1)
-2Sa+6Sb-2Sc=24 (2)
-Sa-Sb+7Sc=24 (3)

ou en le simplifiant un peu:
Sa-Sb-Sc=6 (1)
-Sa+Sb-Sc=12 (2)
-Sa-Sb+7Sc=24 (3)

Dès que t'as Sc=12 c'est un jeu d'enfants (syst. 2*2).

Tu ne dois pas du tout isoler Sc mais le substituer par sa valeur que tu as trouvée. Tu as donc:

(1) -> Sa-Sb = 6+12 = 18
(2) -> -Sa+3Sb = 12+12 = 24

Alors on somme les 2 éq. membre à membre de sorte que Sa tombe:
2Sb = 42 -> Sb = 21

Puis de même, on substitue Sb par sa valeur et (1) devient:
Sa = 18 + 21 = 39

On n'a plus besoin de l'équation (3) car tu en as déjà tiré l'information pour trouver la valeur de Sc.

Voilà, tu viens d'apprendre (à moitié par toi même) à résoudre les systèmes de 2 ou 3 d'équations à 2 ou 3 inconnues. On procède de même pour 4, 5, ... n équations à n inconnues. Le tout est d'avoir autant d'équations INDEPENDANTES que d'inconnues.

[invite97eb3f8b]

Merci de ta reponse, c ce ke j ai trouve aussi.
a+

[lignux]

Oui là j'ai croisé avec Julien, qui t'as expliqué plus fondamentalement ce que tu fais quand tu résouds un syst. d'équations.

En fait, tu as réussi, sans t'en rendre compte, à mettre ce problème sous forme de système d'équations, ce qui est la démarche la plus compliquée. Après, la résolution, ce n'est que du "bête" calcul systématique; il "suffit" de ne pas se tromper.

Et bien sûr, dans ton système, les trois inconnues et les trois équations sont sur "pied d'égalité". C'est à dire que tu peux choisir quelle inconnue tu vas isoler en premier (et en deuxième) et quelle équation tu vas éliminer en premier (et en deuxième).

Si tu veux + d'explications, n'hésite pas.

[lignux]

Sinon, le plus simple pour le problème, je trouve que c'était de faire un petit tableau, en partant de la dernière partie et en remontant à la première:

Joueur 1 | 24 | 12 | 6 | 39
Joueur 2 | 24 | 12 | 42 | 21
Joueur 3 | 24 | 48 | 24 | 12

[invite97eb3f8b]

Bonsoir,
Je vais donc vous montrer comment j'ai réussi à trouver:
(Sa=x
Sb=y
Sc=z)

Fin de la Troisième Partie:
·pour le joueur A: (x-y-z)*4=24
·pour le joueur B: 4y-[(x-y-z)+2*z]*2=24
·pour le joueur C: 4z-[2*(x-y-z)+(3y-x-z)]=24

Les equations simplifiées (je préfère laisser le 24, comme résultat):
·1ere equation: 4x-4y-4z=24
·2eme equation: 6y-2x-2z=24
·3eme equation: 7z-x-y=24

J'exprime le "x" de la 3eme equation en fonction de "y" et "z", ce qui donne:
x=7z-y-24

Ensuite, je remplace les "x" des equations (1) et (2) par "7z-y-24".
Ce qui donne:
·1ere equation: 4(7z-y-24)-4y-4z=24
·2eme equation: 6y-2(7z-y-24)-2z=24

En simplifié, on a:
·1ere equation: -8y+24z-96=24
·2eme equation: 8y-16z-48=24

Puis, on aditionant l'equation (1) et (2), on obtient:
8z-48=48
et donc z=12
La mise initiale de C est donc de 12.

****************************** *********************
Pour trouver la mise initiale de B, on exprime "z", de la 2eme equation, en fonction de "x" et "y", ce qui donne:
6y-2x-2z=24
d'où z=-x+3y-12

Ensuite, je remplace les "z" des equations (1) et (3) par "-x+3y-12".
Ce qui donne:
·1ere equation: 4x-4y-4(-x+3y-12)=24
·2eme equation:7(-x+3y-12)-x-y=24

En simplifié, on a:
·1ere equation: 8x-16y+48=24
·2eme equation: -8x-20y-84=24

Puis, on aditionant l'equation (1) et (3), on obtient:
4y-36=48
et donc y=21
La mise initiale de B est donc de 21.

****************************** *********************

Et enfin, pour trouver la mise initiale de A, on calcule "y+z+6", car on sait que:
4x-4y-4z=24
soit x-y-z=6
soit x-21-12=6
soit x=39
La mise initiale de A est donc de 39.

Est-ce que cela marche aussi?

[lignux]

Est-ce que cela marche aussi?

Ben oui, c'est parfait. Note que tu fais la même chose que moi je crois... sauf que tu as vraiment détaillé tout le calcul de façon très complète.

Juste une petite remarque: ça fonctionne aussi avec Sa, Sb et Sc; pas besoin de systématiquement noter x, y et z...