Spé Math TS (exercice division irreductible)

[invite65344d24]

Bonjour, j'ai besoin d'une piste pour finir un exo !

n désigne un entier naturel tel que n>=7

F=(n+7)/(n-6)

a) déterminer des entiers relatifs alpha et beta, indépendants de n, tels que pour tout n>=7
F=(alpha)+((beta)/n-6)

b) déterminer les valeurs de n telles que F soit un entier

c) déterminer les valeur de n telles que la fraction F ne soit pas irréductible

au a), j'ai trouvé
alpha=1
bêta=13

au b) :
n=19 ou n=7

et au c) je bloque :
Je dis (si je ne me trompe pas): pour que F ne soit pas irreductible, il faut que : n+7 et n-6 ne soient pas premiers entre eux. Donc n-6 divise n+7,
d'où :
n+7=k(n-6) (avec k naturel)
kn-n=(-k)6-7
(k-1)n=(-k)6-7

Et la je ne sais pas comment l'interprêter.
la seule solution que je vois avec mes petits yeux, c'est mettre n sous la forme d'une fraction :
n=(-k6-7)/(k-1) (k différent de 1)
Mais n étant naturel je trouve ca plutot maladroit.
Une autre solution serait de faire disparaitre le k. Mais je ne vois pas de quelle manière.

Quoi qu'il en soit je n'ai pas la solution.

Merci
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

et au c) je bloque :
Je dis (si je ne me trompe pas): pour que F ne soit pas irreductible, il faut que : n+7 et n-6 ne soient pas premiers entre eux. Donc n-6 divise n+7,

Dire que deux nombres sont premiers entre eux c'est dire que leur plus grand facteur commun est 1. Dire que deux nombres ne sont pas premiers entre eux c'est dire qu'ils ont un facteur commun strictement plus grand que 1 mais il est possible qu'aucun des deux nombres ne divise l'autre. Par exemple et ne sont pas premiers entre eux et pourtant 6 ne divise pas 9 et 9 ne divise pas 6. Pour que ne soit pas irréductible il faut donc qu'il existe un entier qui divise à la fois et (mais n'a a priori aucune raison de diviser ). Dit autrement, pour que la fraction ne soit pas irréductible il faut qu'il existe un entier et deux entiers relatifs et tels que et (si c'est le cas la fraction s'écrit et l'on peut simplifier par ).

En sachant que divise à la fois et tu devrais pouvoir nous dire quelle(s) valeur(s) il peut prendre. Ensuite tu pourras en déduire les valeurs de pour lesquelles la fraction n'est pas irréductible.

[invite65344d24]

Merci, je viens de me rendre compte, grâce à toi, que je viens de dire un énorme bêtise. Vive les bêtises de ce genre


Quoi qu'il en soit, merci, tu me permet de finir mon exercice. Bonne soirée/journée