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arithmétique



  1. #1
    vribose

    arithmétique

    Bonsoir
    j'ai un exercice de spé a faire pour demain et je n'y arrive pas .

    voila l'enoncé

    on se propose de determiner le pgcd(a;b) avec a=5n-1 et b=3n+2
    a l'aide d'un tableur on obtient le tableau suivant

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
    a 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 104 109
    b 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68
    pgcd(a;b) 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1

    Determiner le PGCD(a;b) suivant les valeurs de n

    je ne vois pas vraiment comment il faut s'y prendre

    le pgcd varie pour 8 et 21 . Il n'ya pas de lien entre ces deux nombres


    pouvez vous m'aider svp?

    -----


  2. #2
    Seirios

    Re : arithmétique

    Bonjour,

    Tu devrais essayer de trouver une combinaison linéaire de a et b pour éliminer les n ; alors tout diviseur commun à a et b divisera ta combinaison linéaire.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    hhh86

    Re : arithmétique

    a=5n-1 et b=3n+2
    PGCD(a;b)|a et PGCD(a;b)|b ==>PGCD(a;b)|[3(5n-1)-5(3n+2)]
    Donc PGCD(a;b)|-13
    Or les diviseurs ppositifs de -13 sont 1 et 13 donc PGCD(a;b)=1 ou PGCD(a;b)=13

    Si PGCD(a;b)=13, alors 13|a et 13|b
    Donc 5n-1 congru 0 modulo 13 et 3n+2 congru 0 modulo 13
    D'où -5n congru -1 modulo 13 et 6n congru -4 modulo 13
    Par conséquent n est congru -5 est congru 8 modulo 13
    Donc il existe k appartenant à IN tel que n=13k+8

    Montrons que pour tout k appartenant à IN tel que n=13k+8, PGCD(a;b)=13
    5(13k+8)-1=65k+39
    3(13k+8)+2=39k+26
    65k+39=39k+26+26k+13
    39k+26=26k+13+13k+13
    26k+13=13k+13+13k
    13k+13=13k+13
    Or 13|13k donc PGCD(a;b)=13

    Je te laisse conclure
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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