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Arithmétique



  1. #1
    GalaxieA440

    Arithmétique


    ------

    Hello

    Pour pouvoir poster quelques nouveaux exo sur le fil de spe la haut, je voudrais m'assurer de certaines choses, pour qu'il n'y ait pas d'erreur (j'espère ) dans ma correction...

    1/ Déterminer les paires [a,b] appartenant à E= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, telles que ab congrue 1 modulo 11.

    Pour cette question j'ai fait une méthode un peu longue, donc je ne la poste pas. Je trouve comme résultats (2,6)(3,4)(5,9)(7,8) et leurs permutations. Rien oublié ?

    2/ Prouver que p (entier naturel non premier, p>2) admet un diviseur q tel que 1<q<p qui divise aussi (p-1)!

    Soit k un entier tq 1<k<p
    P = "il n'existe aucun k tq k|p"
    Q= "p premier"
    On est d'accord que P implique Q
    Et donc non Q implique non P, par contraposition

    D'ou, p non premier implique qu'il éxiste un k tq 1<k<p qui divise p...

    Pas de boulette la ? parce que je me plante souvent en utilisant les trucs de logique

    Voila les deux petits points sur lesquels j'aimerais avoir une confirmation ....

    Merci bien

    +++

    -----
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : Arithmétique

    Coucou

    1/ Déterminer les paires [a,b] appartenant à E= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, telles que ab congrue 1 modulo 11.

    Pour cette question j'ai fait une méthode un peu longue, donc je ne la poste pas. Je trouve comme résultats (2,6)(3,4)(5,9)(7,8) et leurs permutations. Rien oublié ?
    Pourquoi est-ce qu'on ne pourrait pas prendre (1,1) ?
    Enfin oui, de toute façon, on sait que ces couples sont formés des nombres premiers avec 11 (identité de Bézout )


    Pour la 2, ça me paraît bon, même si, en tombant sur ce genre d'exos, je vais plutôt chercher une solution arithmétique, plus que logique
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #3
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    plop Molette

    on ne prends pas (1,1) parce que a et b doivent être distincts, j'avais oublié de la repréciser...

    merci pour le coup d'oeil

    ++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  5. #4
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    Re Hello

    Je remonte ce fil pour répondre à Ledescat sur sa remarque au message 31# de ce fil : http://forums.futura-sciences.com/thread174211-2.html

    J'y avais pensé, mais ça ne m'a pas paru satisfaisant, mais en y réfléchissant bien, en fait c'est largement suffisant, c'est vrai que la méthode avec les congruences et la décomposition en facteurs premiers est très lourde ...

    Merci pour la remarque Ledescat

    D'autre part, je n'arrive pas à retrouver un moyen "simple" pour montrer que n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....

    C'est un exo très simple, mais je m'en sort seulement de manière super super longue et compliquée, et je n'arrive pas à retrouver plus simple

    Un petit coup de pouce ?
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Arithmétique

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....
    [...]
    Un petit coup de pouce ?
    Il suffit de remarquer que pour que le problème soit quasiment résolu, mais bien sur, il faut une bonne axiomatisation des entiers pour démontrer cela .
    Dernière modification par Médiat ; 12/05/2008 à 16h06.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    il faut une bonne axiomatisation des entiers pour démontrer cela .
    ..................

    Mais merci quand même
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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  10. #7
    Dr. NucleYous

    Re : Arithmétique

    Salut à tous.
    A=n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....
    -Montrons que 3/A:
    Modulo 3 un carré est congru à 0,1.
    *Si n=0[3], alors 3/A
    *Si n=+-1[3], alors n²=1[3], alors 3/A
    ===> Dans tous les cas 3/A (n naturel impair).
    -Montrons que 8/A:
    Modulo8 un carré IMPAIR est congru à 1 ou 0.
    *Si n=0[8], alors 8/A.
    *Si n=1[8], n²=1[8] donc n²+7=0[8] d'où 8/A.
    ===> Dans tous les cas 8/A (n naturel impair).
    Ainsi 3/A et 8/A or 3et 8 premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 24/A.

    J'espère que c'est le moyen "simple" qui t'aidera.

  11. #8
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    Oui c'est d'ailleur comme ça que j'ai fait finalement. Mais merci de la confirmation

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  12. #9
    stross

    Re : Arithmétique

    Bonsoir.

    Moi j'ai fais quelques chose de plus long... J'ai simplement remplacé dans l'expression n par 2k+1. On retrouve à la fin très rapidement que c'est divisible par 24. Le plus long reste le développement.

  13. #10
    Gaara

    Re : Arithmétique

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    2/ Prouver que p (entier naturel non premier, p>2) admet un diviseur q tel que 1<q<p qui divise aussi (p-1)!
    Salut,

    ça me rappelle vaguement le théorème de wilson =)
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  14. #11
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    Plop

    Petite question :

    Résoudre :
    En factorisant j'ai :

    ensuite, je peux dire :
    et

    donc

    et on obtient en tout 8 systèmes, et on garde toutes les solutions dans Z...

    Bon ?

    Ca me paraît extrêmement long, si vous avez une autre méthode....

    Merci

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  15. #12
    -Zweig-

    Re : Arithmétique

    x et y sont des entiers naturels ? Si c'est cas, alors ....



    Impossible d'après le théorème de Fermat-Wiles ...

    Si c'est dans Z, essaye de regarder modulo 9 (pas sûr que ça marche, j'ai pas essayé, mais généralement quand y'a des cubes, on regarde mod 9)

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  17. #13
    -Zweig-

    Re : Arithmétique

    Non, pour Z, marche pas avec les modulos 9 ... Comme ça, j'vois pas d'autre méthode que la tienne qui est certe lourde mais qui a le mérite de fonctionner !

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Arithmétique

    Ce qui suit me paraît bien simple, mais ça à l'air juste, non?

    On peut simplement remarquer que (x+1)3>x3+8 dès que x>1 (et similaire pour les négatifs).

    Il ne reste plus grand chose à tester! Il s'agit juste de vérifier qu'il n'y a aucune différence égal à 8 dans {-8, -1, 1, 8}.

    Cordialement,

  19. #15
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    Ok je vous remercie...

    Zweig pourrait tu poster et détailler le théorème de Fermat Wiles ? Il m'intéresse. Peut être dans la rubrique spe maths.

    Merci

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  20. #16
    -Zweig-

    Re : Arithmétique

    Le théorème de Fermat-Wiles n'est autre que le Grand Théorème de Fermat (démontré par Wiles dans les années 1990) :

    L'équation n'admet aucune solution (x,y,z) € N*^3 lorsque n > 2

  21. #17
    GalaxieA440

    Re : Arithmétique

    a ouais ok.

    Merci

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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