Arithmétique

[GalaxieA440]

Hello

Pour pouvoir poster quelques nouveaux exo sur le fil de spe la haut, je voudrais m'assurer de certaines choses, pour qu'il n'y ait pas d'erreur (j'espère ) dans ma correction...

1/ Déterminer les paires [a,b] appartenant à E= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, telles que ab congrue 1 modulo 11.

Pour cette question j'ai fait une méthode un peu longue, donc je ne la poste pas. Je trouve comme résultats (2,6)(3,4)(5,9)(7,8) et leurs permutations. Rien oublié ?

2/ Prouver que p (entier naturel non premier, p>2) admet un diviseur q tel que 1<q<p qui divise aussi (p-1)!

Soit k un entier tq 1<k<p
P = "il n'existe aucun k tq k|p"
Q= "p premier"
On est d'accord que P implique Q
Et donc non Q implique non P, par contraposition

D'ou, p non premier implique qu'il éxiste un k tq 1<k<p qui divise p...

Pas de boulette la ? parce que je me plante souvent en utilisant les trucs de logique

Voila les deux petits points sur lesquels j'aimerais avoir une confirmation ....

Merci bien

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[invite1237a629]

Coucou

1/ Déterminer les paires [a,b] appartenant à E= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, telles que ab congrue 1 modulo 11.

Pour cette question j'ai fait une méthode un peu longue, donc je ne la poste pas. Je trouve comme résultats (2,6)(3,4)(5,9)(7,8) et leurs permutations. Rien oublié ?

Pourquoi est-ce qu'on ne pourrait pas prendre (1,1) ?
Enfin oui, de toute façon, on sait que ces couples sont formés des nombres premiers avec 11 (identité de Bézout )


Pour la 2, ça me paraît bon, même si, en tombant sur ce genre d'exos, je vais plutôt chercher une solution arithmétique, plus que logique

[GalaxieA440]

plop Molette

on ne prends pas (1,1) parce que a et b doivent être distincts, j'avais oublié de la repréciser...

merci pour le coup d'oeil

++

[GalaxieA440]

Re Hello

Je remonte ce fil pour répondre à Ledescat sur sa remarque au message 31# de ce fil : http://forums.futura-sciences.com/thread174211-2.html

J'y avais pensé, mais ça ne m'a pas paru satisfaisant, mais en y réfléchissant bien, en fait c'est largement suffisant, c'est vrai que la méthode avec les congruences et la décomposition en facteurs premiers est très lourde ...

Merci pour la remarque Ledescat

D'autre part, je n'arrive pas à retrouver un moyen "simple" pour montrer que n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....

C'est un exo très simple, mais je m'en sort seulement de manière super super longue et compliquée, et je n'arrive pas à retrouver plus simple

Un petit coup de pouce ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....
[...]
Un petit coup de pouce ?

Il suffit de remarquer que pour que le problème soit quasiment résolu, mais bien sur, il faut une bonne axiomatisation des entiers pour démontrer cela .

[GalaxieA440]

il faut une bonne axiomatisation des entiers pour démontrer cela .

..................

Mais merci quand même

[invite24dc6ecc]

Salut à tous.
A=n(n²+2)(n²+7) est divisible par 24 si n est impair....
-Montrons que 3/A:
Modulo 3 un carré est congru à 0,1.
*Si n=0[3], alors 3/A
*Si n=+-1[3], alors n²=1[3], alors 3/A
===> Dans tous les cas 3/A (n naturel impair).
-Montrons que 8/A:
Modulo8 un carré IMPAIR est congru à 1 ou 0.
*Si n=0[8], alors 8/A.
*Si n=1[8], n²=1[8] donc n²+7=0[8] d'où 8/A.
===> Dans tous les cas 8/A (n naturel impair).
Ainsi 3/A et 8/A or 3et 8 premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 24/A.

J'espère que c'est le moyen "simple" qui t'aidera.

[GalaxieA440]

Oui c'est d'ailleur comme ça que j'ai fait finalement. Mais merci de la confirmation

+++

[stross]

Bonsoir.

Moi j'ai fais quelques chose de plus long... J'ai simplement remplacé dans l'expression n par 2k+1. On retrouve à la fin très rapidement que c'est divisible par 24. Le plus long reste le développement.

[inviteec581d0f]

2/ Prouver que p (entier naturel non premier, p>2) admet un diviseur q tel que 1<q<p qui divise aussi (p-1)!

Salut,

ça me rappelle vaguement le théorème de wilson =)

[GalaxieA440]

Plop

Petite question :

Résoudre :
En factorisant j'ai :

ensuite, je peux dire :
et

donc

et on obtient en tout 8 systèmes, et on garde toutes les solutions dans Z...

Bon ?

Ca me paraît extrêmement long, si vous avez une autre méthode....

Merci

+++

[invite2220c077]

x et y sont des entiers naturels ? Si c'est cas, alors ....



Impossible d'après le théorème de Fermat-Wiles ...

Si c'est dans Z, essaye de regarder modulo 9 (pas sûr que ça marche, j'ai pas essayé, mais généralement quand y'a des cubes, on regarde mod 9)

[invite2220c077]

Non, pour Z, marche pas avec les modulos 9 ... Comme ça, j'vois pas d'autre méthode que la tienne qui est certe lourde mais qui a le mérite de fonctionner !

[invité576543]

Ce qui suit me paraît bien simple, mais ça à l'air juste, non?

On peut simplement remarquer que (x+1)³>x³+8 dès que x>1 (et similaire pour les négatifs).

Il ne reste plus grand chose à tester! Il s'agit juste de vérifier qu'il n'y a aucune différence égal à 8 dans {-8, -1, 1, 8}.

Cordialement,

[GalaxieA440]

Ok je vous remercie...

Zweig pourrait tu poster et détailler le théorème de Fermat Wiles ? Il m'intéresse. Peut être dans la rubrique spe maths.

Merci

+++

[invite2220c077]

Le théorème de Fermat-Wiles n'est autre que le Grand Théorème de Fermat (démontré par Wiles dans les années 1990) :

L'équation n'admet aucune solution (x,y,z) € N*^3 lorsque n > 2

[GalaxieA440]

a ouais ok.

Merci

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