Salut tout le monde, je souhaiterai démontrer l'égalité de la définition du produit scalaire U.V avec son expression analytique, c'est à dire, pour U ( x, y, z) et v ( a, b ,c) que
||U||*||V||*cos(U,V) = xa+yb+zc
Pouvez vous m'aider svp
D'avance, merci.
Salut,
comme tu l'as dit, il s'agit de définitions (valables dans l'espace euclidien R3).
Le membre de droite est le produit scalaire usuel dans de tels espaces. Pour t'en assurer, tu poses une forme
dans ton cas (n=3).
Puis tu vérifies qu'il s'agit bien d'un produit scalaire, défini comme une forme bilinéaire symétrique, positive et définie (ou non-dégénérée).
1) C'est bien une forme () bilinéaire (car linéaire en x et linéaire en y, je le fait pas mais ça se vérifie facilement) symétrique (il suffit d'intervertir x et y dans la formule pour voir que c'est pareil)
2) elle est positive :
3) elle est définie :
Et voilà, une telle forme est bien un produit scalaire !
Pour l'autre partie, il s'agit d'une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (valable pour les formes bilinéaires symétriques, donc pour un produit scalaire) :
On peut définir la norme (euclidienne)
(tu peux montrer, de la même manière qu'en haut, qu'il s'agit bien d'une norme).
Par conséquent, (je prends la notation . pour le produit scalaire)
il ne reste plus qu'à définir le cosinus de l'angle formé par les vecteurs x et y dans l'espace, par
et tu obtiens ta formule.
voilà, je pense avoir été complet, mais il se peut qu'il y ait des erreurs car je fait ça de mémoire et c'est plus tout frais....
edit : (certaines personnes ont pu voir une autre manière d'amener ces relations, mais c'est ainsi que cela m'a été exposé il y a maintenant 4 ans)
peut-être que superkarl attendait une réponse plus simple ( plus abordable en tout cas) ! Mais bon tout est très bien présenté !Envoyé par lapin savant
voilà, je pense avoir été complet, mais il se peut qu'il y ait des erreurs car je fait ça de mémoire et c'est plus tout frais
à superkarl :
Pose le problème en 2D d'abord. Le sens
Ah ok merci beaucoup pour vos réponses, en plus cela faisait longtemps que je cherchait, en fait c'était simple !
Je met la démonstration pour ceux qui cherchent aussi
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C'est un détail, mais le caractère défini positif n'est pas nécessaire pour avoir un produit scalaire.
Bruno,
au contraire ! si la forme bilinéaire symétrique ne possède pas le caractère défini positif, tu es bien embêté pour définir un produit scalaire (sur un espace vectoriel, on est bien d'accord):
autrement dit, le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, ou sa norme, pourrait être négative....
de même, si la forme est dégénérée, il existe (au moins) un vecteur non nul dont la norme vaut 0.....
Dans le cadre de la construction d'un espace pré-hilbertien, voire extension à euclidien (si tu définis la norme), ces propriétés sont nécessaires.
Pour illustration : l'espace de Minkowski qui sert de cadre mathématique à la relativité (en physique) est muni d'une métrique définie à partir d'une forme bilinéaire symétrique (c'est tout), qui n'est pas un produit scalaire et ne permet de ne définir qu'une pseudo-norme.
PS : j'aimerais tout de même comprendre ce qui t'as amené à cette remarque, il est aussi possible que je sois passé à côté de quelque chose
Cordialement
Là on est d'accord.
On peut très bien définir une norme sur un EV non nécessairement euclidien et non nécessairement muni d'un produit scalaire. Par exemple la norme de Hölder.autrement dit, le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, ou sa norme euclidienne, pourrait être négative....
La définition générale de mon cours d'algèbre, où le caractère défini positif n'est qu'une propriété d'un produit scalaire (:= FB sym sur un EV réel).PS : j'aimerais tout de même comprendre ce qui t'as amené à cette remarque, il est aussi possible que je sois passé à côté de quelque chose
D'accord, je comprend mieux maintenant
