Hauteur - orthocentre - application produit scalaire / conjecture + démonstration

[invite7536172]

Bonjour, je suis en 1ère S et voilà le Dm de Maths que je dois faire pour vendredi prochain.
http://img410.imageshack.us/img410/3101/img002p.jpg

J'ai fait la conjecture : H sera toujours sur la courbe C.

Pour la démonstration j'ai commencé par chercher deux équations de hauteurs du triangle, puis j'ai posé le système. Mais je suis maintenant noyée dans les calculs je ne m'en sors pas. Pourriez-vous m'aider ?

Je peux vous scanner mes calculs, désolé pour la qualité de l'énoncé.

Merci beaucoup à ceux qui se pencheront sur mon sujet, je me débrouille plutôt bien en Maths mais là je cale - ça vous paraîtra surement tout bête néanmoins.

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[invite57a1e779]

J'ai fait la conjecture : H sera toujours sur la courbe C.

C'est effectivement ce qu'il faut conjecturer.

Pour la démonstration j'ai commencé par chercher deux équations de hauteurs du triangle, puis j'ai posé le système. Mais je suis maintenant noyée dans les calculs je ne m'en sors pas.

En passant par l'équation des hauteurs, rien d'étonnant à ce que tu sois noyée.

Quelles sont les coordonnées du vecteur ?
Quelles sont les coordonnées du vecteur ?
Combien vaut le produit scalaire ?

[invite7536172]

Merci pour votre réponse rapide. Je crois que je peux m'en sortir avec les hauteurs, je vais essayer. Néanmoins j'ai aussi commencé avec le produit scalaire comme vous me l'avez indiqué :

RS (s-r ; 1/s - 1/r)
TH (x-t ; y - 1/t)
or RS.TH = 0.
C'est bien ça ? Ca conduit aussi à des calculs compliqués non ?
Quoique on a une seule équation..

(avec les hauteurs, c'est plus long mais c'est surtout que j'ai des calculs que je ne peu simplifier !)

[invite57a1e779]

Si l'on écrit les coordonnées de sous la forme , l'équation en produit scalaire s'écrit , et se simplifie en , c'est-à-dire .

En utilisant les vecteurs et , on obtient l'équation .

On peut donc calculer les coordonnées de en résolvant le système

ce qui est relativement rapide, il suffit de considérer la différence des deux équations pour avoir la valeur de sous une forme très sympathique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7536172]

C'est ce que je viens de faire, merci beaucoup pour votre aide !

[invite7536172]

On obtient donc y = -1/rst ; on remplace y par cette valeur dans une des équations ou dans la troisième ? Car en remplaçant dans une des équations je trouve quelquechose de pas normal...

[invite7536172]

Non c'est bon j'ai trouvé. Je trouve juste x = rst et non x = - rst je vais voir si j'ai pas oublier un moins quelque part. J'ai utilisé la troisième hauteur, c'est normal ?