Suite par récurrence, exercice important.

[invite2267653c]

Bonjour,
Je suis en terminale S, et nous avons eu un devoir maison à faire.
Cependant, je ne suis pas sure de moi. Pourriez vous me donner un p'tit coup d'pouce pour que je puisse finir cette exercice ?

On désigne par U la suite définie par :
- Uo = ( Pi ) / 2
- Un+1 = sin ( Un ) , pour tout "n" appartenant aux entiers naturels ( 0 exclus )

_ Montrer par récurrence que l'on a, pour tout "n" appartenant aux entiers naturels :

0 < ( ou égal ) Un+1 < ( ou égal ) Un < ( ou égal ) Pi / 2 . ( Appelons cette propriété Pn )



J'ai d'abord commencé par montrer que pour n = 0, cette propriété était vraie.
Cependant, je ne vois pas comment démontrer que P(n+1) est vraie.


Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

Peux-tu clairement écrire ce que signifie la propriété P(n+1) ?

[invite4eac1b14]

pour n=0 , U1=sin(U0)=1 donc il est clair que 0<1<pi/2
supposons que Pn est vraie et démontrons que Pn+1 l'est aussi cad
0<Un+2<Un+1<pi/2
daprès l"hypothèse de la récurrence on a 0<Un+1<Un<pi/2 et on sait que la fonction sin est strictement positive et croissante sur ]0,pi/2[ donc
0<sin(Un+1)<sin(Un)<1<pi/2 alors on obtient 0<Un+2<Un+1<pi/2 d'où le résultat.

[invite2267653c]

Merci beaucoup pour votre aide.

En effet, j'étais mal partie, beaucoup plus dans des calculs improbables que par une logique de la fonction sin.

[A voir en vidéo sur Futura]