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Suite par récurrence, exercice important.



  1. #1
    keepsake

    Suite par récurrence, exercice important.


    ------

    Bonjour,
    Je suis en terminale S, et nous avons eu un devoir maison à faire.
    Cependant, je ne suis pas sure de moi. Pourriez vous me donner un p'tit coup d'pouce pour que je puisse finir cette exercice ?

    On désigne par U la suite définie par :
    - Uo = ( Pi ) / 2
    - Un+1 = sin ( Un ) , pour tout "n" appartenant aux entiers naturels ( 0 exclus )

    _ Montrer par récurrence que l'on a, pour tout "n" appartenant aux entiers naturels :

    0 < ( ou égal ) Un+1 < ( ou égal ) Un < ( ou égal ) Pi / 2 . ( Appelons cette propriété Pn )



    J'ai d'abord commencé par montrer que pour n = 0, cette propriété était vraie.
    Cependant, je ne vois pas comment démontrer que P(n+1) est vraie.


    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Suite par récurrence, exercice important.

    Peux-tu clairement écrire ce que signifie la propriété P(n+1) ?

  3. #3
    mirey

    Re : Suite par récurrence, exercice important.

    pour n=0 , U1=sin(U0)=1 donc il est clair que 0<1<pi/2
    supposons que Pn est vraie et démontrons que Pn+1 l'est aussi cad
    0<Un+2<Un+1<pi/2
    daprès l"hypothèse de la récurrence on a 0<Un+1<Un<pi/2 et on sait que la fonction sin est strictement positive et croissante sur ]0,pi/2[ donc
    0<sin(Un+1)<sin(Un)<1<pi/2 alors on obtient 0<Un+2<Un+1<pi/2 d'où le résultat.

  4. #4
    keepsake

    Re : Suite par récurrence, exercice important.

    Merci beaucoup pour votre aide.

    En effet, j'étais mal partie, beaucoup plus dans des calculs improbables que par une logique de la fonction sin.

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