Suite géométrique, exercice .

[invite2267653c]

Bonjour, bonsoir.
Alors voilà, j'ai un exercice à faire grâce aux suites géométriques, mais malheureusement, je ne sais pas si mon raisonnement est bon.


Soit ( Un ) définie par Uo = 2 et pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1 = 1 + 2/5Un
Soit la suite ( Vn ) définie par ( pour tout n appartenant aux entiers naturels) Vn = Un - 5/3

1. Montrer que la suite ( Vn ) est géométrique ( on donnera la raison et le terme initial ).

Pour cette première question, J'ai calculé Vo, V1 et V2 pour trouver que la raison q = 2/5. Mais comment trouve-t-on le terme initial ?

Merci d'avance.
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, il te faut calculer le rapport v_n+1/v_n.
Le terme initial sera v₀ d'après la définition de v_n et de u_n.

Duke.

[invite2267653c]

Merci Duke.

Pour ce rapport, je remplace donc Vn+1 par V1 et Vn par Vo ?

[Duke Alchemist]

Non non... tu restes "général"

Tu as l'expression de v_n en fonction de u_n.
Tu exprimes v_n+1 de la même manière en fonction de u_n+1 et ce u_n+1 est à exprimer en fonction de u_n.
Tu obtiens alors une expression de v_n+1 en fonction de u_n.
Et ton expression de v_n+1/v_n se simplifie (même si à priori cela ne se voit pas ) en un terme constant qui sera la raison de ta suite géométrique (v_n).

Me suis-tu ?

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2267653c]

Oui.
J'essaye ca de suite.
Merci.

[invite2267653c]

Je suis censée arriver sur 1 + 2/5 Un ?

[Duke Alchemist]

Oui.
J'essaye ca de suite.
Merci.

Ben alors ??... ce n'est pas si dur que ça quand même

Je te rassure tu dois trouver 2/5 comme résultat... Ce que tu avais conjecturé en fait.

et v₀ = u₀ - 5/3 = ...
celui que tu avais calculer en premier.

Pense bien que pour la démo de ce style, il faut rester général.

Duke.

EDIT : Non non le terme est constant et c'est 2/5...
Si tu ne trouves pas ton erreur, poste ton calcul

[invite2267653c]

( (1 + 2/5Un) - 5/3 ) / ( Un - 5/3 ) ; c'est la base de mon calcul.
Mais en simplifiant, je ne trouve pas l'erreur quand je reste général.

[Duke Alchemist]

Bon, tu développes ton numérateur et tu factorises l'ensemble de ton numérateur par le facteur devant u_n à savoir 2/5.
Et tu retrouves au numérateur l'expression de ton dénominateur (enfin moi je le retrouve )

Le but étant d'avoir un terme constant, il suffit de retrouver au numérateur l'expression du dénominateur (soit u_n-5/3 ici) afin de simplifier par ce terme commun.

Vois-tu l'astuce ?

Duke
qui va aller se coucher

[invite2267653c]

J'ai trouvé .
Merci beaucoup, bonne soirée.

[invite2267653c]

J'ai une autre question.
Après avoir calculé ça, on me demande d'exprimer le terme de général de (Vn) et celui de (Un) en fonction de n.
Dois je utiliser la propriété Vn+1 = q Vn ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

En effet mais il faudrait aller plus loin en exprimant V_n en fonction de V₀
En fait, comment s'exprime le terme de rang n d'une suite géométrique en fonction de la raison et du premier terme.

Duke.

[invite2267653c]

Ah !
Vn = Vo * q (puissance n-no ) ?

En remplacant Vo par Uo - 5/3, dois-je encore rester général, ou remplacer Uo par sa valeur ?

[invite610cd15b]

Ah !
Vn = Vo * q (puissance n-no ) ?

En remplacant Vo par Uo - 5/3, dois-je encore rester général, ou remplacer Uo par sa valeur ?

Salut !

Tout d'abrod tu dois exprimer vn en fonction de n à l'aide de la formule : Vn = Vo*q^n
Tu remplaces Vo et q par leur valeur et tu obtiens l'expression de Vn en fonction de n.

Pour obtenir l'expression de Un en fonction de n, tu dois te servir de ce que tu sais, c'est à dire : Vn = Un - 5/3 => Un = Vn + 5/3
Tu remplaces Vn par l'expression trouvé précedament et tu obtiens l'expression de Un en fonction de n !

[invite2267653c]

Merci beaucoup.
Cela parait plus simple d'un coup