Nombres premiers

[invitea7ab5b3f]

Soit n un entier naturel non nul.

Le but de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire sur n pour que N = 4^n +n² soit un nombre premier.

1)a. Démontrer que si n est pair, alors N est pair.

b. En déduire les restes possibles de la division euclidienne de n par 10.

2) Démontrer que si n=10k + 1 ou n=10k + 9, alors N est divisible par 5.

3) En déduire une condition nécessaire sur n pour que N soit un nombre premier.

4) Application: Trouver tous les nombres premiers de la formes 4^n + n² inférieurs ou egaux à 1500.

Je voudrais que vous m'indiquer le chemin pour répondre a ces questions. Je n'y arrive pas du tout. Merci d'avance
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[invite51d17075]

bonjour,

même pas les questions 1) et 2) ??
un petit effort quand même !

[invitea7ab5b3f]

je vais tenter encore de réflechir un peu et je vous redis quoi

[invitea7ab5b3f]

je ne sais pas ou chercher, et meme que faire meme pour les 1eres questions. Peut-etre pourriez vous m'indiquez quelques choses...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7ab5b3f]

je pense avoir une petite idée :

4^n : donne toujours un résultat pair
n² : donne un résultat pair si n est pair
donc 4^n + n² est pair donc N est pair

C'est un début , je sais qu'il faut plus de choses mais je ne trouve pas...

[invite610cd15b]

Soit n un entier naturel non nul.

Le but de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire sur n pour que N = 4^n +n² soit un nombre premier.

1)a. Démontrer que si n est pair, alors N est pair.

Ta démonstration pour la 1) est exacte !
Si n est pair, alors n² est pair. En effet un nombre pair multiplié par lui même donne toujours un nombre pair.
Si n est pair, alors 4^n est pair. Un nombre pair multiplié un grand nombre de fois par lui même donnera toujours un nombre pair.
Et la somme de nombre pair donne toujours un nombre pair.

Ainsi si n est pair, N est pair! T'avais tout bon !

[invite610cd15b]

b. En déduire les restes possibles de la division euclidienne de n par

Soit b un entier naturel.
Les restes possibles de la division euclidienne de b par 10 sont 1/2/3/4/5/6/7/8/9. (En effet on sait que le reste est toujours positif et compris entre 0 et la valeur absolue du dividende, ici le dividende c'est 10.)

Or tu sais que n est pair, le dividende (10) est également pair. Dans ces conditions le reste de la division euclidienne de n par 10 est forcément pair!

Les restes de la division euclidienne de n par 10 sont donc 2/4/6/8.

Bon courage pour la suite de ton exo !

[invitea7ab5b3f]

merci ! enormément meme ! Je vais chercher pour la suite , je te tiendrais au courant si j'y arrive ...

[invite610cd15b]

2) Démontrer que si n=10k + 1 ou n=10k + 9, alors N est divisible par 5.

J'sais pas trop en quelle classe t'es ! Est-que par hasard t'aurais déja vu les congruences ?

[invitea7ab5b3f]

les 2 premieres questions étaient assez simples meme si j'ai eu de l'aide, par contre pourriez vous m'aider pour le reste des questions ?

[invite5150dbce]

ça c'est de la spécialité maths donc il est en terminale S. Pour ce qui est de la congruence, il a surement du le voir

[invitea7ab5b3f]

oui je suis en terminale S et j'ai vu les congruences. Tout cela c'est de la amth spé

[invitea7ab5b3f]

svp pourriez vous me donner de l'aide svpp =D ?

[invitea7ab5b3f]

j'ai besoin d'aide svp pour la suite .. =( ?

[sylvainc2]

Tout entier n peut s'écrire comme n=10k+i où i=0,1,2,...,8,9

À la question 1, tu as éliminé les i=0,2,4,6,8 car n est pair et N aussi.

À la 2, c'est i=1 ou 9 qui est éliminé (sauf si n=1 attention)

Donc il reste les i=3,5,7

Mais ca veut pas dire que tous les N pour ces i sont premiers, en fait il n'y en a que 3 qui sont <1500 (n=1, 3 et 5).

[invitea7ab5b3f]

je ne comprend pas ... moi je suis arriver a la question 2 . Je bloque ....

[danyvio]

Soit b un entier naturel.
Les restes possibles de la division euclidienne de b par 10 sont 1/2/3/4/5/6/7/8/9. (En effet on sait que le reste est toujours positif et compris entre 0 et la valeur absolue du dividende, ici le dividende c'est 10.)

Et le reste nul ???

En effet on sait que le reste est toujours positif et compris entre 0 et la valeur absolue du dividende diminué de 1 , ici le dividende c'est 10.)

[invite107f353e]

Oui, bon de toute façon, ça reste pair et ça n'influe pas sur la suite de l'exercice

Pour le 2. :
Calcule 4¹, 4², 4³, etc. modulo 5.

Que remarques-tu ?
Prouve le.

Puis développe (10k+1)² et (10k-1)²

Conclure.