DM de Math 2nde Tétraèdre

[invitea6611749]

Bonjour tout le monde , je n'arrive pas à mon DM de math donc je vous demande votre aide amicable s'il vous plait

ABCD est un tétraède régulier de coté a. L'une de ses hauteurs est le segment [AG] où G est le centre de gravité de BCD.
I et K sont les milieux de [CD] et [AB]
Dans le plan (AIB), les droite (IK) et (AG) se coupent en O

a) Exprimer les longueurs IA et IB en fonction de a
b) Expliquer pourquoi OA=OB
c) Exprimer COS KAO de deux façons différentes et en déduire que AO =
d) en déduire l'arrondi au centième de la mesure en degrés de KAO, puis que AOB= 109,5°

Quelqu'un peut -il m'aider je suis complètement perdu.
J'ai trouvé sa pour la question a) :

AC² = AI²+CI²
AI² = AC²-CI²
AI² = a²-(a/2)²
AI² = a²-a²/4
AI² = 3a²/4 ( on m'a aidé pour obtenir ça mais je comprens pas pourquoi 3a²/4 ..?)
AI = racine carré 3 x a/2

Est - ce juste ?
Merci d'avance pour votre aide sur les autres questions
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[Jeanpaul]

Ca fait 3 a²/4 parce que 1 - 1/4 = 3/4
Ensuite, ce problème est une question de barycentre, même si le mot n'est pas employé dans l'énoncé.
Pose-toi la question : quel est l'isobarycentre du tétraèdre ABCD ?
Tu peux le faire de diverses façons :
- en groupant BCD d'abord puis en ajoutant A
- en groupant d'une part AB et d'autre part CD
Tu verras que le résultat est le point O, ça permet de calculer la distance AO.
Ensuite, tu peux montrer que le triangle AIB est isocèle et que IK est sa hauteur, donc tu as un angle droit quelque part.
Ensuite, le cosinus devient facile.

[invitea6611749]

Merci de ta réponse, mais je n'ai pas tres bien compris cette histoire de barycentre, on en a pas parlé en cours en tout cas :S.
Je te serais tres reconnaissant si tu pouvais m'expliquer en détail, merci d'avance .

[invitea6611749]

Up please, j'ai surtout besoin d'aide pour les question c) et d) ou je comprend pas :S. Le reste j'ai réussi.

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Évidemment, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Enfin, je vais essayer.
Regarde le triangle AIB, il est isocèle donc IK est à la fois hauteur, médiane et médiatrice donc OA=OB
Connaissant AI=BI, tu peux calculer BG (G=centre de gravité). Le triangle ABG est rectangle (O est l'orthocentre).
A partir de là, tu peux calculer le cos de l'angle KAO à la fois dans le triangle ABG soit dans le triangle AKO et tu en tires AO. Tu peux dire aussi que les triangles ABG et AKO sont semblables.

[invitea6611749]

Ok merci.
Pour la question c) j'ai trouvé :

cos(KAO) = AG/AB = AK/OA
a*V(2/3)/a = (a/2)/OA
OA/(a/2) = 1/V(2/3) = V(3/2)
OA = V(3/2)*a/2 = a*(V3/2)/2


Est ce juste ?
Merci d'avance

[Jeanpaul]

Oui, ça me paraît juste. La théorie des barycentres t'aurait donné directement que OA =(3/4) AG